Le Réseaux de pétri

Plan de travail

Sommaire

Introduction

Rappel

Définition d’un RDP

Marquage

Evolution d’un RDP

Franchissement

Dynamique d’un RDP

Propriété liées aux marquages

Borné / non borné

Vivant/ Blocage

Pseudo vivant

Propre (réinitialisable)

Persistant (déterministe)

Propriété liées à la structure

Graphe d’état

Graphe marqué

Libre choix

Simple

Pur

Invariants

Composante conservative

Composante répétitive

Conclusion

Bibliographie

Introduction :

Les Réseaux de pétri (RDP) permettent de modéliser des systèmes séquentiels, ils ont été inventés par CARL ADAM PETRI dans sa thèse <<COMMUNICATION AVEC AUTOMATISME >> (Kommunication mit Automaten), un mathématicien et informaticien allemand. Il a défini un outil mathématique très général permettant de décrire les relations existant entre des conditions et des événements et de modéliser le comportement de système dynamique à événement discret, ces RDP datent de 1960-1962. C’est un outil très général, modélisent aussi bien les protocoles des communications informatiques que des systèmes de production. Il est à l’origine du GRAFECET (ce dernier étant spécialisé dans la description de la commande de système automatisés). L’intérêt des réseaux de Pétri est de pouvoir construire une vision abstraite d’un système complexe (un modèle de type systèmes à événements discrets) afin de pouvoir analyser son comportement de façon prévisionnelle. Cette analyse peut se faire en réalisant des simulations, mais l’apport principal des réseaux de Pétri est qu’il est possible de prouver formellement, ou de vérifier formellement, certaines propriétés de son comportement. Pour pouvoir prouver ou vérifier il faut se baser sur des propriétés que peuvent avoir ou pas un réseau de Pétri. De façon classique ces propriétés sont présentées dans nos exposés.

Rappel :

Définition d’un RDP :

Un réseaux de pétri est la donnée d’un graphe orienté biparti (P,T,C) ,ou c’est la matrice d’incidence ; un graphe orienté comporte :

Les places :

C’est un ensemble fini, P= {P1, P2, P3, ..., Pm}, symbolisées par des cercles et représentant des conditions qui traduit l’état d’une ressource du système (machine libre, stock vide, convoyeur à l’arrêt, …).

Une place P

Les transitions :

C’est un ensemble fini, T= {T1, T2, T3, ..., Tn}, symbolisées par des tirets et représentant l'ensemble des événements (les actions se déroulant dans le système) dont l'occurrence provoque la modification de l'état du système.

Une transition T

Un arc orienté :

C’est un ensemble fini qui assurent la liaison d'une place vers une transition ou d'une transition vers une place, Symbolisées par des flèches.

Un arc (liaison)

Un graphe orienté est dit biparti, c'est-à-dire qu'un arc relie alternativement une place à une transition et une transition à une place. Ainsi les situations suivantes sont interdites.

Un RDP est représenté Fig1 à chaque place et transition, un nom associé exp : T₁, T₂, P₁, P₂.

Fig1 : un RDP

Marquage :

Chaque place contient un nombre entier positif ou nul de marques ou jetons. Le marquage M définit l'état du système décrit par le réseau à un instant donné. C'est un vecteur colonne de dimension le nombre de places dans le réseau. Le iéme élément du vecteur correspond au nombre de jetons contenus dans la place Pi. Fig2

Fig2 : le marquage d’un RDP

Condition logique (processus) : le jeton indique que cette condition est vraie (place marquée) ou fausse

Ressources : le jeton indique la quantité de ressource en stock.

le marquage initial, M0, correspond à la distribution initiale des jetons dans chacune des places : état initial du système

Règle d’évolution :

L’évolution d’un RDP correspond à l’évolution de son marquage au cours du temps (évolution de l’état du système) : il se traduit par un déplacement de marques ce qui s’interprète comme la consommation/production de ressources déclenchée par des événements ou des actions. Déterminer l’évolution d’un RDP correspond en fait à le simuler, terme plus généralement utilisé en modélisation.

Le franchissement :

Une transition est franchissable lorsque toutes les places qui lui sont en amont (ou toutes les places d'entrée de la transition) contiennent au moins un jeton .Le franchissement consiste à retirer un jeton de chacune des places d'entrée et à rajouter un jeton à chacune des places de sortie de la même transition. Fig3

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