Devoir Mathématique Cned

2- Exercice N°1 :

1-) calcul de la

= -∞ car par le quotient on a :

2x-3 = -1

x²+2x-3 = 0+

La bonne réponse est la réponse b.

2-) soit f(x)= ; C(f) sa représentation graphique.

Calcul de la :

= = =

=> =1/2

Car par quotient =1 et =2

avec = 0

=0

D’où c(f) admet une asymptote en +∞, d’équation y=1/2.

La bonne réponse est donc la réponse c.

3-) Soit g(x)= .

g est définie si et seulement si 2x-4≥0 => x≥2, donc le domaine de définition de g est Dg = [2 ;+∞[.

Toutefois g est dérivable si et seulement si 2x-4>0 => x>2, donc le domaine de dérivabilité est Dg’ = ]2 ;+∞[.

La bonne réponse est donc la réponse b.

4-) Soit h une fonction / h(x)=x²sin2x.

- h est définie sur ℝ car elle est le produit de deux fonctions définies sur ℝ.

- h est dérivable sur ℝ car elle est le produit de deux fonctions dérivables

sur ℝ.

Calcul de la dérivée h’(x) :

h’(x)=2x * sin2x+2cos2x *x²

h’(x)=2x(sin2x + xcos2x)

car [u.v]’ = u’v+v’u et (sin2x)’=2cos2x

Aucune des trois réponses n’est juste.

3- Exercice N°2 :

Partie A :

f(x)= / Df = ]0 ;+∞[

1-)

a-)Calcul de la :

= = *

= (1+ ) * = +∞

car : (1+ ) = 1

= +∞

Donc =+∞

b-) Montrons que ∀ x∈ ℝ*+ , f(x)= :

On a : f(x)= =

= = =

=> f(x)=

c-) Calcul de la :

= = =

Donc =

2-)

a-) Montrons que f est dérivable sur ]0 ; +∞[

et que ∀ x∈ ]0 ;+∞[, on a f’(x)= :

f est le quotient de deux fonctions :

x→x+1, qui est définie et dérivable sur ℝ, donc sur ]0 ;+∞[ ,

et la fonction

x→ qui est définie et dérivable si et seulement si 1+x>0 => x>-1

donc x∈ ]-1 ;+∞[ , donc x→ est définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ , ainsi f est dérivable sur ]0 ;+∞[.

Calcul de f’(x) :

f(x)= , ∀ x∈ ]0 ;+∞[.

f’(x)=

f’(x)=

=

= =

Donc f’(x) =

b-) Tableau de variation de f sur ℝ*+ :

Détermination du signe de f’(x) :

f’(x) =

Sachant que : > 0 => >0

et : >0, x∈ ℝ*+.

Donc f’(x)>0, d’où f est strictement croissante sur ]0 ;+∞[.

Le tableau de variation sera :

x 0 +∞

f’(x) +

f(x) +∞

1/2

c-) Montrons que f([1/2 ; 1]) ⊂ [1/2 ; 1] :

on a : f(1/2) = ⋍0.67 et f(1)=2(√2 – 1) ⋍0.83

comme f est strictement croissante sur ]0 ;+∞[, donc sur [1/2 ;1],

ainsi ∀ x∈ [1/2 ;1], f(1/2)≤f(x)≤f(1)

or f(1/2) et f(1) Є[1/2 ;1] donc f([1/2 ; 1]) ⊂ [1/2 ;1].

Partie B :

Soit Un définie par : U0=1 et Un+1=f(Un).

1-) Montrons par récurrence que ∀n∈ℕ, P(n) : Un∈[1/2 ;1]

Initialisation :

Pour n=0, on a U0=1 => U0∈[1/2 ;1], donc P(0) est vraie

Hérédité :

On suppose que pour n quelconque

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