Le Cinématique du point

Définitions de base

Cinématique du point

Il faut d'abord définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l’espace et une référence pour le temps, une horloge2 ; on utilise en général le référentiel lié au laboratoire, par exemple dont les axes suivent les arêtes des murs de la pièce, ou bien celle de la table, ou encore les directions géographiques Nord-Sud, Est-Ouest et haut-bas (si le laboratoire est immobile par rapport au sol). L'objet de base est le point, sans dimension. Un point M est défini par ses coordonnées (x, y, z, t) et noté M(x, y, z, t).

Un objet réel est un volume, constitué d'une infinité de point. La cinématique du point consiste donc à étudier un point particulier d'un solide. On choisit des points caractéristiques, dont l'étude est simple et/ou donne des renseignements pertinents ; ce sont typiquement le centre de gravité du solide, qui joue un rôle important en dynamique, ou bien le point de contact du solide avec un autre. Si le solide est de petite dimension par rapport à son déplacement, et que l'on ne s'intéresse pas à sa rotation propre dans le référentiel, alors on peut se contenter de cette étude du point ; c'est le cas par exemple de la révolution des planètes dans le système solaire.

Les coordonnées définissent le vecteur position, qui dépend ainsi de la position et du temps3.

Le vecteur obtenu en dérivant les coordonnées par rapport au temps définit le vecteur vitesse. Le vecteur vitesse est indépendant du choix du point origine3.

\vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial t} \\[3pt] \frac{\partial y}{\partial t} \\[3pt] \frac{\partial z}{\partial t} \end{pmatrix}

Le vecteur obtenu en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps définit le vecteur accélération

\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \\[3pt] \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \\[3pt] \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \end{pmatrix}

La mécanique du point permet de prévoir la position en fonction du temps, à partir de la vitesse initiale et des forces.

L'équation horaire du mouvement

\left\{\begin{matrix} x = f_1 (t) \\ y = f_2 (t) \\ z = f_3 (t) \end{matrix}\right.

correspond à l’équation paramétrique d'une courbe ; on peut souvent réduire ceci à un système d’équations cartésiennes

g_i (x,y,z) = 0\,

qui, dans le cas le plus simple, sont du type linéaire

ax + by + cz + d = 0\,

Définition de l'abscisse curviligne

Cette courbe est l’ensemble des points par où passe le centre d'inertie du mobile. On définit alors l’abscisse curviligne, notée s, la distance parcourue sur la courbe par rapport à un point de référence (la position du centre d'inertie du mobile à t=0). Pour un petit déplacement de M(x, y, z, t) à M(x+dx, y+dy, z+dz, t+dt), l'abscisse curviligne est assimilable à un segment, d'où :

\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2} = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2} \mathrm{d}t

On a donc s = \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}{\sqrt{{\dot{x}}^2 + {\dot{y}}^2 + {\dot{z}}^2}\mathrm dt}.

La notion commune de vitesse est en fait la dérivée de l'abscisse curviligne. On parle souvent de « vitesse scalaire »4 :

v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}.

On a en fait

\|\vec{v}\| = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}.

Cinématique du solide

Il est souvent important de prendre en compte la rotation du solide. Le premier modèle est celui du solide indéformable : si l'on considère deux points M1 et M2 quelconque du solide, alors la distance M1M2 reste constante au cours du temps.

On peut étudier la trajectoire de chaque point du solide, mais on peut aussi définir le mouvement du solide de manière globale. Pour cela, on attache un repère au solide, (O1, x1, y1, z1) ; l'origine O1 est un point présentant un intérêt particulier, comme le centre de gravité, le centre d'un pivot (centre du cylindre d'un perçage), un sommet. La position du solide est alors définie par six paramètres :

les coordonnées de O1 dans le repère du référentiel ;

les angles d'Euler, pour l'orientation dans l'espace.

Article détaillé : Mécanique du solide.

Cinématique des fluides

Un fluide — liquide ou gaz — est constitué de nombreuses particules microscopiques, des molécules. Ces particules ont un mouvement chaotique, dit « mouvement brownien ». À ce mouvement se superpose un mouvement d'ensemble, le courant. Il serait illusoire de vouloir étudier chaque particule, on utilise donc une description statistique du mouvement.

Article détaillé : mécanique des fluides.

Description qualitative des mouvements

Quatre types de mouvements plans :

a - Translation rectiligne.

b - Translation circulaire.

c - Translation curviligne.

d - Rotation.

Le mouvement d'un solide est en général caractérisé par deux termes : son type et sa nature. Le type de mouvement indique la manière dont la position évolue. Les termes typiquement employés sont :

mouvement quelconque ;

mouvement plan : les trajectoires des points sont planes, les plans sont tous parallèles (voir ci-dessous),

mouvement de translation : les trajectoires de tous les points du solide sont des segments courbes identiques, parallèles entre eux,

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