Algèbre linéaire I

Planche no 1. Algèbre linéaire I

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.

Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)].

no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1, ... , Fn n sous-espaces de E où E est un espace

vectoriel sur un sous-corps K de C.Montrer que

(F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ J1, nK/ [

j6=i

Fj ⊂ Fi)

.

no 3 (** I) : E = Kn où K est un sous-corps de C.

Soient F = {(x1, ..., xn) ∈ E/ x1 + ... + xn = 0} et G = Vect ((1, ..., 1)). Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.

Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Préciser le projeté d’un vecteur x de E sur F parallèlement à G et sur G

parallèlement à F.

Techniques de démonstration d’indépendance (du no 4 au no 12).

no 4 (**) : Les familles suivantes de R4 sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quand

ces relations existent.

1) (e1, e2, e3) où e1 = (3, 0, 1,−2), e2 = (1, 5, 0,−1) et e3 = (7, 5, 2, 1).

2) (e1, e2, e3, e4) où e1 = (1, 1, 1, 1), e2 = (1, 1, 1,−1), e3 = (1, 1,−1, 1) et e4 = (1,−1, 1, 1).

3) (e1, e2, e3, e4) où e1 = (0, 0, 1, 0), e2 = (0, 0, 0, 1), e3 = (1, 0, 0, 0) et e4 = (0, 1, 0, 0).

4) (e1, e2, e3, e4) où e1 = (2,−1, 3, 1), e2 = (1, 1, 1, 1), e3 = (4, 1, 5, 3) et e4 = (1,−2, 2, 0).

no 5 (***) : Montrer que (1,√2,√3) est une famille libre du Q-espace vectoriel R.

no 6 (**) : Soit f(x) = ln(1 + x) pour x réel positif. Soient f1 = f, f2 = f ◦ f et f3 = f ◦ f ◦ f. Etudier la liberté de

(f1, f2, f3) dans [0,+∞[[0,+∞[.

no 7 (**) : Soit fa(x) = |x − a| pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille (fa)a∈R.

no 8 (**I) : On pose fa(x) = eax pour a et x réels. Etudier la liberté de la famille de fonctions (fa)a∈R.

no 9 (**) : Montrer que toute suite de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.

Montrer que toute suite de polynômes non nuls de valuations deux à deux distinctes est libre.

no 10 (**I) : E = Rn[X]. Pour 0 6 k 6 n, on pose Pk = Xk(1 − X)n−k. Montrer que la famille (Pk)06k6n est une base

de E.

no 11 (**I) : (Polynômes d’interpolation de Lagrange)

Soient a0,..., an n + 1 nombres complexes deux à deux distincts et b0,..., bn n + 1 nombres complexes.

Montrer qu’il existe une unique famille de n + 1 polynômes à coefficients complexes de degré n exactement vérifiant

∀(i, j) ∈ J0, nK, Li(aj) = 1 si i = j et 0 sinon.

Montrer que la famille (Li)06i6n est une base de Cn[X].

Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀i ∈ J0, nK, P(ai) = bi. Expliciter P

puis déterminer tous les polynômes vérifiant les égalités précédentes.

no 12 (**) : 1) Calculer pour p et q entiers naturels donnés les intégrales suivantes :

J(p, q) =

Z2

0

cos(px) cos(qx) dx, K(p, q) =

Z2

0

cos(px) sin(qx) dx et L(p, q) =

Z2

0

sin(px) sin(qx) dx.

2) Montrer que la famille de fonctions (cos(px))p∈N ∪ (sin(qx))q∈N est libre.

no 13 (***I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie sur K.

Démontrer que dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).

c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

no 14 (**) : Soient F, G et H trois sous-espaces d’un espace vectoriel E de dimension finie sur K.

Montrer que : dim(F + G + H) 6 dimF + dimG + dimH − dim(F ∩ G) − dim(G ∩ H) − dim(H ∩ F) + dim(F ∩ G ∩ H).

Trouver un exemple où l’inégalité est stricte.

no 15 (***) : Soient F1, F2,..., Fn n sous-espaces vectoriels d’un espace E de dimension finie sur K (n > 2).

Montrer que dim(F1 + ... + Fn) 6 dimF1 + ... + dimFn avec égalité si et seulement si la somme est directe.

no 16 (**I) : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n > 3. Montrer que l’intersection de n − 1 hyperplans de E est

non nulle.

no 17 (**) : Soient (x1, .., xn) une famille de n vecteurs de rang r et (x1, ..., xm) une sous famille de rang s (m 6 n et

s 6 r). Montrer que s > r + m− n. Cas d’égalité ?

no 18 (**) : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soient f et g deux applications linéaires de E

dans F. Montrer que |rgf − rgg| 6 rg(f + g) 6 rgf + rgg.

no

...