Rappel Motivations, grandeurs physique

I Motivations

Nous commen ̧cons ce polycopi ́e en motivant l’introduction des nouvelles no- tions math ́ematiques qui seront pr ́esent ́ees en expliquant le roˆle fondamental qu’elles vont jouer dans la mod ́elisation de situations physiques.

I.1 Quantit ́es physiques

Les quantit ́es physiques peuvent ˆetre d ́ecrites par des fonctions a` une ou plu- sieurs variables `a valeurs r ́eelles mais aussi vectorielles.

Exemple 1. On donne maintenant quelques exemples de quantit ́es physiques, illustr ́ees par des dessins.

I.2

1. 2. 3.

4.

5.

Une chute verticale libre est d ́ecrite par la fonction h(t) d ́ecrivant la hauteur en fonction du temps.

La pression dans un tuyau d’air (flute) est d ́ecrite par la fonction p(x) donnant la pression en fonction de la position x dans le tube.

La temp ́erature `a la surface du globe est d ́ecrite par une fonction T(φ,θ) donnant la temp ́erature en fonction de la position d ́etermin ́ee par la longi- tude φ et la lattitude θ.

Le champ de gravit ́e cr ́e ́e par la terre et le soleil sur un objet M peut ˆetre d ́ecrit par un champ de force

→− mSol →− mT erre →− F = r2 u + r2 v ,

Sol Terre

→−

La vitesse d’un fluide se d ́epla ̧cant dans l’espace est d ́ecrite par un champ

→−

de vecteur V (x, y, z). Lois de la physique

ou` u est le vecteur unitaire partant de M vers le soleil, v est le vecteur unitaire partant de M vers la terre, m d ́esigne la masse et r la distance entre l’objet et l’astre.

Depuis Newton (la pomme et la gravit ́e), de nombreuses ́equations d ́ecrivant les lois de la physique (gravit ́e, m ́ecanique des fluides, ́electromagn ́etisme) sont d ́ecrites par des ́equations diff ́erentielles, dont l’objet est de pr ́edire le comporte- ment `a long terme d’un objet a` partir de son comportement infinit ́esimal (a` tr`es court terme). Un exemple important de ces loi est donn ́e par

→−

F=ma

ou` F est la force et a l’acc ́el ́eration, qui est la d ́eriv ́ee seconde de la position par

rapport au temps :

∂2M a = ∂t2 .

Comme les quantit ́es physiques font souvent intervenir des fonctions `a valeurs vectorielles, il est n ́ec ́essaire de disposer d’un calcul diff ́erentiel adapt ́e aussi bien aux quantit ́es scalaires (fonctions `a valeurs r ́eelles) que vectorielles (fonctions `a valeurs vectorielles).

→−

→−

→−

→−

→−

3

I.3 Utilisation des lois

Pour utiliser les lois d ́ecrite par des ́equations diff ́erentielles, on a besoin de les r ́esoudre. Il nous faut donc disposer d’un calcul d’int ́egrales fonctionnant aussi bien pour les quantit ́es scalaires que vectorielles.

Remarquons aussi l’analogie entre diff ́erents types de quantit ́es physiques : l’aire, la masse, le flux, la force de pression et la probabilit ́e d’occurence d’un ́ev`enement se calculent tous par des int ́egrales.

I.4 Invariance par rapport `a l’observateur

Depuis Einstein, et tout au long du si`ecle dernier, un roˆle tr`es important a` ́et ́e jou ́e dans la

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