Modèles stochastiques: simulation de signaux auto-régressifs

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MODELES STOCHASTIQUES : SIMULATION DE SIGNEAUX AUTO-REGRESSIFS

Réalisé par :

BOUAZIZI Chams

M1EAPS

Université de Bordeaux I

2015-2016

Introduction :

Les modèles stochastiques de signaux ou d’images sont cruciaux dans la pratique de traitement de données car ils permettent de modéliser des situations certaines. Il peut s’agir de modéliser des erreurs de mesures ou de modéliser la connaissance pareille d’une quantité d’intérêt.

L’analyse la plus simple et plus pratique de fabriquer des signaux corrèles repose sur le filtrage (linéaire invariant) des bruits blancs comme figuré ci-dessous :

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Avec :       B ➔ bruit (B = [Bn]nєZ )

                 rb ➔ sa puissance

                  X ➔ le signal de sortie (X = [Xn]nєZ)

                 hn ➔ la réponse impulsionnelle

L’entrée du filtre est un bruit blanc centré gaussien B = [Bn]nєZ de variance rb. La sortie du signal d’intérêt X = [Xn]nєZ. Dans la suite on notera hn, pour nєZ la réponse impulsionnelle, H(v), pour V є [-0.5 , +0.5] le transfert en fréquence et H(z), pour zєC le transfert en z.

• Dans ce travail on se consacre à un filtre récursif dont la relation entrée/sortie s’écrit

𝑋𝑛 = 𝛼𝑋𝑛−1 + 𝐵𝑛

Le coefficient 𝛼 est l’unique paramètre du filtre. Il sera choisi dans [-1 , +1] et on pourra commencer par 𝛼 = 0.95. Le signal de sortie est appelé signal auto-régressif d’ordre 1.

1. Caractérisation spectrale du signal auto-régressif d’ordre 1

1.a : on considère un filtre récursif dont sa relation d’ E/S :  𝑋𝑛 = 𝛼𝑋𝑛−1 + 𝐵𝑛 

Alors    :        𝑋(𝑧) = 𝛼𝑧 −1𝑋(𝑧) + 𝐵(𝑧)          

                      X(z) ( 1-αZ-1) = B(z)

                      X(z) =  B(z)   B(z)[pic 4][pic 5]

D’où :                  𝑯(𝒛)   [pic 6][pic 7]

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On sait que DSP  (la densité spectrale de puissance):

𝑺𝑿(𝑽) = |𝑯(𝑽)|² ∗ 𝑺𝑬(𝑽)          avec : SE(v) = rb

|𝑯(𝑽)|² = ()² =  = [pic 9][pic 10][pic 11]

DSP ➔ Sx(V) = [pic 12]

1.b : Traçage de Sx(V) avec V dans [-2,+2]  et rb=2 :

Code Octave  (MATLAB) :

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On obtient :

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Figure 1: DSP (la densité spectrale de puissance)

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Figure 2: traçage de Bruit et de l’histogramme

On a déjà trouvé à la partie 1.a que :

                       𝑯(𝒛)     =   =                          [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

D’après la fonction filtre de Octave :

                    H(z) =            par identification  :   𝒅(𝟏) = 𝟏 et 𝒅(𝟐) = 𝟎, et  𝒄(𝟐) = −𝜶[pic 20]

Or :        c  =         alors : c(2) =       et          alors :            [avec : a(1)=1][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

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