Electronique can

Introduction

1.  Limitations des méthodes linéaires

Commençons par rappeler la définition d’un système linéaire. Au sens des mathématiques, un système est linéaire si on peut lui appliquer le principe de superposition. D’un point de vue physique, la définition, plus restrictive, est la suivante.

Définition 1 :

Un système est linéaire s’il est décrit par des équations différentielles linéaires d’ordre fini à coefficients constants. Lorsque cette définition s’applique, on peut associer au système, à l’aide de la transformée de Laplace, une transmittance H(p) qui est une fraction rationnelle en p= jω. En automatique, on complète fréquemment la définition de linéarité avec la transmittance associée au retard pur, c’est-à-dire un terme de la forme exp(-τ p), où τ est une constante de temps.

Les méthodes d’étude des systèmes linéaires sont très puissantes en raison des outils disponibles (algèbre linéaire, équations différentielles et systèmes différentiels linéaires, etc.). Malgré tout, les systèmes linéaires présentent plusieurs limitations :

– Aucun système physique n’est complètement linéaire. Les méthodes linéaires ne sont donc applicables que dans un domaine de fonctionnement restreint.

– Certains systèmes sont impossibles à modéliser, même localement, à des systèmes linéaires. Un exemple simple est le relais, que ce soit sous sa forme électromagnétique ancienne ou sous sa forme électronique (transistor en commutation, thyristor, etc.).

– Certains phénomènes ne peuvent pas être décrits par des modèles et méthodes linéaires. Par exemple,

1. la précision limitée due au seuil alors que la théorie classique prévoit une précision parfaite si le système comporte un intégrateur pur,
2. le phénomène de pompage caractérisé par des oscillations périodiques, alors que la théorie linéaire ne prévoit que des états stables ou instables.

1.  Systèmes non linéaires

Par définition, un système non linéaire est un système qui n’est pas linéaire, c’est-à-dire (au sens physique) qui ne peut pas être décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Cette définition, explique la complexité et la diversité des systèmes non linéaires et des méthodes qui s’y appliquent. Il n’y a pas une théorie générale pour ces systèmes, mais plusieurs méthodes adaptées à certaines classes de systèmes non linéaires.

On s’intéressera  à l’étude des systèmes asservis non linéaires, c’est-à-dire d’asservissements qui contiendront un (voire plusieurs) éléments non linéaires. Ces éléments devront en outre appartenir à des types bien définis de non-linéarités.

1. Non-linéarités dans les systèmes asservis

La caractéristique entrée/sortie d’un système présente fréquemment des distordions dues aux non-linéarités du système. Par exemple, un amplificateur présente une saturation, un pont de redressement présente des seuils en raison des seuils des diodes qui le composent (Fig.1)

Ces cinq non-linéarités de base peuvent se combiner pour former des non-linéarités plus complexes, comme le montre la Fig. 2. Ces cinq non-linéarités et leurs combinaisons permettent de représenter à peu près tous les types de non-linéarités rencontrés dans les systèmes asservis.

[pic 1]

Fig.1 – Exemple de non linéarités.

[pic 2]

Fig.2 – Combinaisons de non linéarités.

On peut classer les non-linéarités en plusieurs catégories selon leurs propriétés :

– des non-linéarités continues (courbures) ou discontinues (relais),

– des non-linéarités avec ou sans mémoire (toutes celles avec hystérésis),

– des non-linéarités accidentelles, c’est-à-dire dues aux imperfections des composants (saturation d’un amplificateur, jeu), ou essentielles, c’est-à-dire liées à la nature même du composant (relais).

1. Systèmes asservis possédant un seul élément non linéaire

Dans de nombreux cas, un seul élément non linéaire, et l’on peut généralement le séparer (hypothèse de séparabilité) des autres éléments linéaires du système. On peut montrer que l’étude de tels systèmes à un élément non linéaire séparable peut toujours se ramener à l’étude d’un système non linéaire canonique, constitué dans la chaîne directe d’un élément non linéaire isolé (bloc avec la double bordure) suivi d’un système linéaire noté L(p) (qui regroupe l’ensemble des termes linéaires), et d’un retour unitaire (Fig. 3).

[pic 3]

Fig.3 – Système asservi non linéaire canonique.

1. Exemples de réduction

5.1 Exemple

Ainsi, il est facile de montrer que le système de la figure 4 se réduit à la forme de la figure 5. Pour cela, on procède par déplacement des blocs linéaires en prenant garde de conserver le gain devant l’élément non linéaire.

[pic 4]

Fig.4 – Système asservi non réduit.

[pic 5]

Fig.5 – Système asservi sous forme canonique.

5.2 Exercice

Réduire à la forme canonique le système asservi de la figure 6 suivant :

[pic 6]

Fig.6 – Système asservi à réduire.

1. Méthodes d’études des systèmes asservis non linéaires

Dans ce cours, nous proposons deux méthodes d’étude des systèmes asservis non linéaires.

La méthode du premier harmonique est une généralisation de la méthode harmonique classique utilisée pour les systèmes linéaires. Le principe consiste à réaliser une linéarisation dans le domaine fréquentiel afin de généraliser la notion de fonction de transfert au cas NL. C’est une méthode approchée qui s’applique pour des systèmes à une non-linéarité séparable et qui suppose que la partie linéaire du système asservi se comporte comme un filtre passe bas.

La méthode du plan de phase est un cas particulier (dimension 2) de la méthode très générale de l’espace de phase. Cette méthode est rigoureuse et permet d’étudier des systèmes non linéaires quelconques. En revanche, il est souvent difficile de trouver les solutions de façon analytique. L’intérêt actuel de cette méthode est lié à la puissance des calculateurs, qui permettent d’intégrer numériquement les équations et de calculer soit numériquement soit graphiquement les solutions.

Méthode du premier harmonique

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