Variables aléatoires

Probabilités / Statistiques

2013-02-12

Variables aléatoires

Exemple : On considère l’expérience qui consiste à jeter un jeton (faces numéro 1 et 2) et un dé.

Soit  l’univers lié à l’expérience.

 = (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

card () = 12

Une variable aléatoire (VA) transforme tout événement de  en une valeur réelle.

Si VA s’intéresse à la somme obtenue alors VA prend les valeurs 2,3,4,5,6,7,8.

Définition : On appelle variable aléatoire VA une fonction définie sur  et à valeurs dans R.

 ---- R

Ces valeurs obtenues sont notées de manière théorique x1 ; x2 ;… ; xP

Les antécédents des xi sont des sous-ensembles de  donc des évènements. On peut les noter x = xi

Reprise de l’ensemble

VA = 5 : la somme des chiffres vaut 5

VA = 5 : (1,4)(2,3)

On peut utiliser des inégalités :

VA < 4 = (VA = 2)  (VA = 3)

= (1,1)(1,2)(2,1)

A chaque événement VA = xi, on associe une probabilité P(VA = xi)

Exemple :

P(VA = 5) = card (VA = 5) / card () = 2 / 12 = 1 / 6

En calculant toutes les probabilités, on obtient la loi de probabilité, présentée en tableau du type :

VA = xi xi x2 … xP

P(VA = xi) P(VA = xi) P(VA = x2) … P(VA = xP)

Reprise de l’exemple

VA = x i 2 3 4 5 6 7 8

P(VA = xi) 1 / 12 2 / 12 2 / 12 2 / 12 2 / 12 2 / 12 1 / 12

P( VA = 2) = card (x = 2) / card () = 1 / 12

Et ainsi de suite, on vérifie que la somme des probabilités est égale à 1 :

 (VA = xi) = 1/12 + 2/12 + 2/12 + 2/12 + 2/12 + 2/12 + 1/12 = 1

Espérance mathématique E(VA)

VA = xi xi x2 … xP

P(VA = xi) P1 P2 … PP

La moyenne des valeurs prises par VA vaut :

P1x1 + P2x2 + … + PPxP

_________________________

P1 + P2 + … + PP

Or P1 + P2 + … + PP = 1

On obtient P1x1 + P2x2 + … + PPxP =  Pixi

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