TD scilab

Devoir maison à rendre pour le jeudi 5 novembre 2020

On apportera un soin particulier à la rédaction et aux raisonnements.

Exercice.

a. Montrer, à l’aide d’une identité remarquable, que : ∀x > 0, x + 1x ⩾ 2. ∗n

b. Soit (x1,...,xn) ∈ (R+) . Déduire de la question précédente que pour tout n ⩾ 1 : (n )(n1)

xx⩾n. ∑i∑2

i=1 i=1 i ()n2n2n2n

Soit (a1,...,an),(b1,...,bn) ∈(R).Onposeα=∑ai,β=∑bi etγ=∑aibi.

i=1 i=1 i=1

c. Combien le polynôme ∑(aiX+bi)2 peut-il avoir de racines réelles? Que dire du signe

de son discriminant ?

e. Écrire une nouvelle preuve de la deuxième question.

n

i=1

d. En développant ce polynôme, en déduire que γ2 ⩽ αβ.

Problème. Pour n ∈ N∗, on pose

Hn=∑n 1k et γn=Hn−ln(n).

1. Convergence.

a. Montrer que :

k=1

∗ 1 ∫k+1dt ∀k∈N,k⩾k t.

b. Endéduirequepourtoutn∈N∗,γn ⩾0.

c. Montrer que :

∀x>−1, ln(1+x)⩽x.

d. En déduire que (γn) converge. On note γ sa limite.

e. Montrer que γ ∈ [0, 1].

f. Écrire une fonction scilab qui prend en entrée un entier n et renvoie la valeur de γn .

2. Applications. ( Hn )

a. Montrer que la suite ln n n⩾2 converge vers 1.

b. Montrer que pour tout n ⩾ 1,

2n (−1)k Hn−H2n=∑ k .

c. En déduire que la suite de terme général ∑ k k=1

converge et déterminer sa limite.

k=1

2n (−1)k

3n ak

d. Pourtoutn ∈ N,onposea3n+1 = a3n+2 = 1eta3n+3 = −1.Exprimer ∑ k en

fonction de H3n et Hn.

3n

e. Quelle est la nature de la suite de terme général ∑ ak ?

k=1

k=1 k

vvvvv

Problème. Pour n ∈ N∗, on pose

Hn=∑n 1k et γn=Hn−ln(n).

1. Convergence.

a. Montrer que :

k=1

∗ 1 ∫k+1dt ∀k∈N,k⩾k t.

b.

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