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Méthode de Newton

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Par   •  17 Septembre 2019  •  Cours  •  398 Mots (2 Pages)  •  543 Vues

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Définition

La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec pour application [pic 1]:

[pic 2]

On voit clairement que rechercher un point fixe de l'application [pic 3]revient à  chercher une solution de l'équation

[pic 4]

On rappelle que la recherche d'un point fixe se fait via un algorithme itératif définit par la suite

[pic 5]

le schéma numérique de la méthode de Newton est donc donné par

[pic 6]

Interprétation géométrique

L'équation de la tangente à  la courbe de f au point [pic 7]est donné par

[pic 8]

[pic 9]n'est rien d'autre que l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec l'axe (Ox), en effet

[pic 10]

On prend alors pour [pic 11]:

[pic 12]

Convergence de la méthode de Newton

{{Théorème.}} Soit [pic 13]et soit [pic 14]tel que

[pic 15]

et

[pic 16]

alors il existe [pic 17]tel que la méthode de Newton converge pour tout élément [pic 18]{{Preuve.}} Par hypothèse, [pic 19]est continue et [pic 20], il existe donc un [pic 21]tel que:

[pic 22]

La dérivée de [pic 23]est définie par:

[pic 24]

Par hypothèse, [pic 25]et [pic 26], par conséquent:

[pic 27]

De plus, [pic 28]est continue sur [pic 29]vu que

[pic 30]

écrivons la continuité de g' en [pic 31]dans l'intervalle [pic 32]

[pic 33]

c'est à  dire

[pic 34]

Il existe alors [pic 35]tel que

[pic 36]

On a donc montré l'une des hypothèses du point fixe. Il reste à  montrer à  présent que g est stable dans l'intervalle [pic 37], c'est à  dire:

[pic 38]

En utilisant le théorème de la moyenne on montre qu'il existe un élément [pic 39]tel que

[pic 40]

d'oà¹

[pic 41]

On a donc montré que: - [pic 42]et [pic 43]- il existe une constante [pic 44]dans ]0,1[ telle que [pic 45]. On conclut alors à  l'aide du théorème du point fixe: la suite définie par [pic 46]converge vers [pic 47]le point fixe de [pic 48][pic 49].

...

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