Combinaisons : formule du binôme de Newton

3/ Combinaisons : formule du binôme de Newton

Formule n° 3 : formule du binôme de Newton.

ce qui peut également être noté :

La présence de « k parmi n » dans la formule s’explique de la sorte :

par exemple : an-1b1 a pour représentants dans le développement de (a + b)n :

ba...a aba...a aaba...a etc..

.

Il possède donc autant de représentants que de façons de placer b sur n cases, les autres étant remplies par des a.

Plus généralement : an-kbk possède autant de représentants que de façons de placer k lettres b sur n cases.

C’est à dire :

Remarques :

1) Cette formule est également valable, de façon plus générale, pour a et b nombres complexes.

2) La somme des exposants de chaque monôme vaut toujours n.

3) En raison de leur rôle dans cette formule, les sont aussi appelés coefficients binomiaux.

4) Cette formule se démontre rigoureusement à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Exemple d’utilisation :xs

Développer (1 + x)5 à l’aide de la formule du binôme.

Trois des coefficients

sont évidents, d’après la définition des combinaisons :

Un coefficient est à calculer :

Et les deux derniers se déduisent des précédents :

D'où :

Formule que l’on peut « vérifier » par exemple pour x = 2 :

Remarque :

En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble. Il s'obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l'aide de techniques combinatoires.

Sommaire

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• 1 Perception immédiate

• 2 Symbolisation par une même quantité

• 3 Comptage

• 4 Calcul

• 5 Propriétés fondamentales

• 6 Dénombrement dans des ensembles finis

o 6.1 Théorèmes fondamentaux

o 6.2 Propriétés

• 7 Notes et références

• 8 Voir aussi

Perception immédiate[modifier | modifier le code]

Face à une collection d'au plus quatre objets, l'être humain et peut-être certains animaux1 semblent avoir une notion immédiate de la quantité présentée sans énumération. Ce phénomène, aussi appelé subitizing (en), peut être étendu au-delà de quatre dans certaines configurations, comme les points sur les faces d'un dé. Les nombres figurés peuvent être ainsi plus facilement repérables.

Symbolisation par une même quantité[modifier | modifier le code]

Les premières évaluations de quantités n'ont pas nécessairement été exprimées à l'aide d'un nombre ou d'une notation chiffrée. Or, de telles évaluations ont pu être utiles pour suivre l'évolution d'un troupeau, d'une production manufacturée, des récoltes ou d'une population humaine, notamment dans les corps d'armée. En l'absence de système de numération, il est possible de représenter chaque élément d'une collection, par exemple, à l'aide d'une encoche sur un morceau de bois ou un os. Un autre exemple est visible dans le film Ivan le Terrible de Sergueï Eisenstein, où avant un combat, les soldats jettent chacun à leur tour une pièce dans un sac.

Comptage[modifier | modifier le code]

L'évaluation d'une quantité d'objets à l'aide d'un terme particulier nécessite l'établissement d'une liste de termes qui puisse être apprise et transmise. Certains peuples océaniens parcourent ainsi une vingtaine de parties du corps selon un ordre fixe (mais dépendant de la localisation du peuple)2. Chaque langue a développé un système de désignation des premiers nombres entiers, éventuellement lié à un système de numération particulier.

Le dénombrement consiste alors à parcourir simultanément la chaine numérique et la collection d'objets de façon que chaque objet ne soit considéré qu'une seule fois. La compréhension de cette technique de dénombrement est décomposée en cinq principes3 :

• principe d'adéquation unique : chaque mot n'est associé qu'à un et un seul élément de la collection ;

• principe d'ordre stable : les mots-nombres sont toujours récités dans

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