Méthode Monte Carlo

Le terme méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, désigne toute méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis1, et publié pour la première fois en 1949 dans un article coécrit avec Stanislaw Ulam2.

Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur. La comparaison des données mesurées à ces simulations peut permettre de mettre en évidence des caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules.

La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d'introduire une approche statistique du risque dans une décision financière. Elle consiste à isoler un certain nombre de variables-clés du projet, tels que le chiffre d'affaires ou la marge, et à leur affecter une distribution de probabilités. Pour chacun de ces facteurs, un grand nombre de tirages aléatoires est effectué dans les distributions de probabilité déterminées précédemment, afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats.

Le véritable développement des méthodes de Monte-Carlo s'est effectué sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Notamment, ils ont utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans le cadre de la Monte-Carlo N-Particle transport (MCNP).

Sommaire [masquer]

1 Théorie

2 Exemples

2.1 Résolution du Problème du voyageur de commerce

2.2 Détermination de la valeur de π (pi)

2.3 Détermination de la superficie d'un lac

2.4 Application au modèle d'Ising

2.5 Recouvrement de courbes et méthode contrainte-résistance

2.6 Estimation de la valeur d'un coup au go

2.7 Estimation de la valeur d'un coup aux échecs

3 Notes et références

4 Voir aussi

4.1 Bibliographie

4.2 Articles connexes

4.3 Liens externes

§Théorie[modifier | modifier le code]

Nous disposons de l'expression de l'espérance mathématique d'une fonction g de variable aléatoire X, résultant du théorème de transfert, selon lequel

G = E(g(X))=\int g(x)f_X(x) \, \mbox{d}x

où f_X est une fonction de densité sur le support [a;b]. Il est fréquent de prendre une distribution uniforme sur [a;b]:

f_X(x) = \frac{1}{b-a}

Ceci peut être étendu aux probabilités discrètes en sommant grâce à une mesure \nu discrète, de type Dirac.

L'idée est de produire un échantillon (x_1,x_2,...,x_N) de la loi X (donc d'après la densité f_X) sur le support [a;b],

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