Les fonctions

Soit I un intervalle. Le but de ce problème est la recherche des fonctions ƒ, définies et dérivables sur I, qui

vérifient l'équation fonctionnelle (E) suivante :

(E) : pour tous a et b de I, ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)

Autrement dit, on recherche toutes les fonctions qui transforment les produits en sommes sur un intervalle donné.

1. La fonction nulle, ƒ = 0 sur I, est-elle solution de (E) ?

2. Démontrer que si ƒ est solution de (E), alors pour tout réel λ, la fonction λƒ est aussi solution de (E).

3. Dans cette question, on suppose que 0 ∈ I. Soit ƒ une solution de (E).

Démontrer qu'alors, pour tout b ∈ I : ƒ(b) = 0

On constate que si I contient 0, alors seule la fonction nulle est solution de (E). (Ce qui n'est pas très intéressant)

Pour les questions 4 et 5, on suppose que I = ]0, +∞[ et que ƒ est une solution de (E) sur I.

4. A l'aide de valeurs de a et b bien choisies, démontrer que :

ƒ(1) = 0

5. Soit a ∈ I. On considère la fonction ga définie sur I par :

ga(x) = ƒ(ax) − ƒ(x)

a. Démontrer que ga est une fonction constante sur I. (On précisera la valeur de cette constante)

b. En déduire que pour tout x ∈ I :

aƒ'(ax) − ƒ'(x) = 0

c. En déduire qu'il existe un réel k tel que :

ƒ'(a) =

k

a

On a donc démontré qu'une fonction dérivable ƒ qui transforme les produits en sommes sur I = ]0, +∞[ vérifie :

(S)

(1) 0

il existe un réel tel que : ( ) pour tout

k

k x x I

x

ƒ = ✁

✂

ƒ′ = ∈

✁✄

Nous allons maintenant étudier la réciproque.

6. Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur I = ]0, +∞[ vérifiant (S). Démontrer que ƒ vérifie (E).

(On pourra utiliser la fonction ga définie à la question 5)

...