Généralités sur les fonctions

TS - Lycée Desfontaines

Comment calcule-t-on les limites d’une fonction rationnelle ?

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Rappel :Sauf indication contraire, on ne calcule les limites d’une fonction qu’aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.

Toute fonction rationnelle étant définie sur R \ {valeur(s) interdite(s)}, on ne calcule donc, à priori, ses li-

mites qu’en l’infini et en chaque valeur interdite.

1-Limite d’une fonction rationnelle en l’infini

Méthode de Première S :

Si on applique les règles opératoires sur les quotients de limites à une fct rationnelle, en l’infini, on obtient

en général une forme indéterminée. Pour lever cette indétermination, on factorise le numérateur et le déno-

minateur par leur terme prépondérant cad par leur terme de plus haut degré. Chacune des deux parenthèses

ayant pour limite 1, on obtient que la limite en l’infini de la fonction rationnelle est alors celle du

quotient de ses termes de plus haut degré .

Exemple : Soit R la fonction rationnelle définie sur R \ {1; 2} par R(x) = −3x + 3

2x2 − 6x + 4

.

Limite en l’infini :

En l’infini, la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donc lim x→+∞

−3x+3 = lim x→+∞

−3x = −∞

et lim x→+∞

2x

2 − 6x + 4 = lim x→+∞

2x

2 = +∞. Donc la limite de R en +∞ est une forme indéterminée.

Un même raisonnement nous donne une indétermination en −∞.

Pour lever ces indéterminations, on factorise numérateur et dénominateur par leur terme prépondérant, cad par

leur monôme de plus haut degré :

∀x ∈ DR \ {0}, R(x) =

−3x(1 − 1

x

)

2x2(1 − 3

x + 2

x2

)

=

−3x

2x2

×

1 − 1

x

1 − 3

x + 2

x2

=

−3

2x

×

1 − 1

x

1 − 3

x + 2

x2

Or lim x→∞

1

x

= lim x→∞

3

x

= lim x→∞

2

x2

= 0 donc lim x→∞

(1 −

1

x

) = lim x→∞

(1 −

3

x

+

2

x2

) = 1 d’où lim x→∞

R(x) = lim x→∞

−3

2x

= 0

Ainsi lim x→−∞

R(x) = lim x→−∞

−3

2x

= 0 et lim x→+∞

R(x) = lim x→+∞

−3

2x

= 0.

La droite d’équation y = 0 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de R au voinage de −∞ et

+∞.

Méthode de Terminale S : Vous pouvez maitenant directement appliquer la règle suivante :

A l’infini, la limite d’une fonction rationelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré

Exemple : Reprenons la fonction rationnelle R définie par R(x) = −3x + 3

2x2 − 6x + 4

. Il suffit d’écrire :

A l’infini, la limite d’une fonction rationelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré donc

lim x→−∞

R(x) = lim x→−∞

−3x

2x2

= lim x→−∞

−3

2x

= 0 et lim x→+∞

R(x) = lim x→+∞

−3x

2x2

= lim x→+∞

−3

2x

= 0.

La droite d’équation

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