Fonction homographique

Soient a, b, c, d quatre réels avec c≠0 et ad−bc≠0. La fonction ƒ définie sur 𝑅−{−𝑑𝑐} par : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 ƒ s'appelle une fonction homographique. La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole. La valeur « interdite » −𝑑𝑐 est celle qui annule le dénominateur. Si ad−bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction ƒ est constante sur son ensemble de définition. Exemple : ƒ(𝑥)=2𝑥+14𝑥+2=2𝑥+12(2𝑥+1)=12 𝑠𝑢𝑟 𝑅−{−12}

II. Propriété La courbe représentative de la fonction homographique est une hyperbole ayant pour centre de symétrie le point de coordonnées (−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐) Pour tracer une hyperbole, courbe représentative de la fonction : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 Commencer par placer le centre de symétrie de coordonnées(−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐), puis les droites d’équation 𝑥=−𝑑𝑐 𝑒𝑡 𝑦=𝑎𝑐 L’hyperbole ne coupe jamais ces deux droites.

Niveau : 2de

Fonction homographique

www.pass-education.fr

Exemple :

La fonction ƒ tel que : ƒ(𝑥)=3𝑥+2𝑥+1

ƒ est définie pour 𝑥≠−1

Son ensemble de définition est donc :

𝐷=𝑅−{−1} Ou 𝐷=𝑅]−∞ ; −1[∪]−1 ; +∞[

Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles] −∞ ; −1 [et] 1 ; +∞ [

Cette étude concerne juste cet exemple ; ce n'est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !. Soient a, b, c, d quatre réels avec c≠0 et ad−bc≠0. La fonction ƒ définie sur 𝑅−{−𝑑𝑐} par : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 ƒ s'appelle une fonction homographique. La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole. La valeur « interdite » −𝑑𝑐 est celle qui annule le dénominateur. Si ad−bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction ƒ est constante sur son ensemble de définition. Exemple : ƒ(𝑥)=2𝑥+14𝑥+2=2𝑥+12(2𝑥+1)=12 𝑠𝑢𝑟 𝑅−{−12}

II. Propriété La courbe représentative de la fonction homographique est une hyperbole ayant pour centre de symétrie le point de coordonnées (−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐) Pour tracer une hyperbole, courbe représentative de la fonction : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 Commencer par placer le centre de symétrie de coordonnées(−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐), puis les droites d’équation 𝑥=−𝑑𝑐 𝑒𝑡 𝑦=𝑎𝑐 L’hyperbole ne coupe jamais ces deux droites.

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La fonction ƒ tel que : ƒ(𝑥)=3𝑥+2𝑥+1

ƒ est définie pour 𝑥≠−1

Son ensemble de définition est donc :

𝐷=𝑅−{−1} Ou 𝐷=𝑅]−∞ ; −1[∪]−1 ; +∞[

Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles] −∞ ; −1 [et] 1 ; +∞ [

Cette étude concerne juste cet exemple ; ce n'est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !. Soient a, b, c, d quatre réels avec c≠0 et ad−bc≠0. La fonction ƒ définie sur 𝑅−{−𝑑𝑐} par : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 ƒ s'appelle une fonction homographique. La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole. La valeur « interdite » −𝑑𝑐 est celle qui annule le dénominateur. Si ad−bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction ƒ est constante sur son ensemble de définition. Exemple : ƒ(𝑥)=2𝑥+14𝑥+2=2𝑥+12(2𝑥+1)=12 𝑠𝑢𝑟 𝑅−{−12}

II. Propriété La courbe représentative de la fonction homographique est une hyperbole ayant pour centre de symétrie le point de coordonnées (−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐) Pour tracer une hyperbole, courbe représentative de la fonction : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 Commencer par placer le centre de symétrie de coordonnées(−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐), puis les droites d’équation 𝑥=−𝑑𝑐 𝑒𝑡 𝑦=𝑎𝑐 L’hyperbole ne coupe jamais ces deux droites.

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La fonction ƒ tel que : ƒ(𝑥)=3𝑥+2𝑥+1

ƒ est définie pour 𝑥≠−1

Son ensemble de définition est donc :

𝐷=𝑅−{−1} Ou 𝐷=𝑅]−∞ ; −1[∪]−1 ; +∞[

Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles] −∞ ; −1 [et] 1 ; +∞ [

Cette étude concerne juste cet exemple ; ce n'est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !. Soient a, b, c, d quatre réels avec c≠0 et ad−bc≠0. La fonction ƒ définie sur 𝑅−{−𝑑𝑐} par : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 ƒ s'appelle une fonction homographique. La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole. La valeur « interdite » −𝑑𝑐 est celle qui annule le dénominateur. Si ad−bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction ƒ est constante sur son ensemble de définition. Exemple : ƒ(𝑥)=2𝑥+14𝑥+2=2𝑥+12(2𝑥+1)=12 𝑠𝑢𝑟 𝑅−{−12}

II. Propriété La courbe représentative de la fonction homographique est une hyperbole ayant pour centre de symétrie le point de coordonnées (−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐) Pour tracer une hyperbole, courbe représentative de la fonction : ƒ(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 Commencer par placer le centre de symétrie de coordonnées(−𝑑𝑐 ; 𝑎𝑐), puis les droites d’équation 𝑥=−𝑑𝑐 𝑒𝑡 𝑦=𝑎𝑐 L’hyperbole ne coupe jamais ces deux droites.

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La fonction ƒ tel que : ƒ(𝑥)=3𝑥+2𝑥+1

ƒ est définie pour 𝑥≠−1

Son ensemble de définition est donc :

𝐷=𝑅−{−1} Ou 𝐷=𝑅]−∞

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