Dérivé fonctions

I- Dérivé en un point :

1) nombre dérivé en un point :

T(x) = ym-ya / xm-xa

2) Coefficient directeur d'une droite.

Le taux d'accroissement T(x)= f(x) - f(a) / x-a de f entre a et x est le coefficient directeur de la droite (AM) où A(a;f(a)) et M(x;f(x)).

3) Tangente a une courbe :

Calcul du coefficient directeur :

A(xa;ya) . On cherche le coef directeur C :

Y=c(x-xa)+ya ou Y= f'(a)(x-a)+f(a).

La droite passant par A(-3;2) de coefficient directeur 4 : on a pour équation y=4(x-(-3))+2.

Y=4x+12+2= 4x+14

Comme deltat est la représentation graphique de la fonction affine x |-> f'(a)(x-a)+f(a) ont dit que f'(a)(x-a)+ f(a) est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

4) Nombre dérivé à gauche et à droite :

On dit que f est dérivable à droite en a si le taux d'accroissement ( f(x) - f(a) ) / (x-a) admet une limite finie à droite en a (quand x tend vers a, x supérieur à "a"). On note F'd(a).

On dit que f est dérivable à gauche en a si le taux d'accroissement ( f(x) - f(a) ) / f(x-a) admet une limite finie à gauche en a (quand x tend vers a, x inférieur à "a". On note F'g(a).

Si F'g(a) = F'd(a) on a alors :

F'(a) = F'g(a) = F'd(a).

Demi-tangente.

5) Tangente verticale :

Si la limite de x ->a [ f(x) - f(a) / (x-a) ] = +/- l'infini, on dit que Cf admet une tangente verticale au point A(a;f(a)).

6) Lien avec la continuité :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et "a" appartient à "I".

Si f est dérivable en "a" alors f est continue en "a". La réciproque est fausse.

II- fonctions dérivée :

1) dérivée des fonctions usuelles :

F(x)= racine de "x" ,

f'(x) = 1/2 racine de "x".

F(U)= racine de U ,

F'(U) = U' / 2 racine de U.

f(U)= U puissance m,

f'(u) = mU' U puissance n-1.

Exemple : donner la dérivé de f(x) = x7 et g(x)= 1/ x5 :

F'(x) = 7x6 et g'(x) = -5 / x6

3) opérations algébriques sur les fonctions dérivés :

A) somme (u+v) : (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x).

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