Repérages cas

Repérages

On se donne un repère (O, I, J) c’est-à-dire deux axes d’origine commune O, l’un orienté vers I, l’autre vers J.

[pic 1][pic 2][pic 3]

Repère orthonormé                        repère orthogonal                    repère oblique

Tout point M est repéré par un couple de nombres (x ; y) : ses coordonnées.

La première coordonnée, l’abscisse se lit sur la droite (OI).

La deuxième coordonnée, l’ordonnée se lit sur la droite (OJ).

[pic 4]

Exercice :

Soit (O, I, S) un repère orthogonal.

Placer A (2 ; 3), B (1 ; 0), et C (-2 ; -1)

Placer D le milieu de [AC] ; lire ses coordonnées.

        D = J, D (0 ; 1)

Placer E tel que xE = 5 et yE = yA - yC

        YE = 3 – (-1) = 4

I – Milieu d’un segment

On se place dans un repère orthogonal, et on considère les points :

A (xA ; yA) et B (xB ; yB)

Alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées (xM ; yM)

Avec xM = (xA + xB) ÷ 2  et yM = (yA + yB) ÷ 2

Remarque : ses coordonnées sont donc les moyennes des deux coordonnées.

Exercice :

Soit A (1 ; -3) et B (2 ; 7)

1. Calculer les coordonnées de M, le milieu de [AB].
2. Calculer les coordonnées de C tel que B soit le milieu de [AC].

Solution :

1. On a donc xM = (xA + xB) ÷ 2  et yM = (yA + yB) ÷ 2

      xM = (1 + 2) ÷ 2 = 1,5  et yM = (-3 + 7) ÷ 2 = 2

      Donc M (1,5 ; 2)

1. On a donc xB = (xA + xC ) ÷ 2  et yB = (yA + yC) ÷ 2

     2 = (1 + xC) ÷ 2  et 7 = (-3 + yC) ÷ 2

     2 × 2 = 1 + xC  et 2 × 7 = -3 + yC

     4 – 1 = xC  et 14 + 3 = yC

     3 = xC  et 17 = yC

     Donc C (3 ; 17)

II – Distance entre deux points

Pour calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées on doit avoir la même unité sur les deux axes : il faut donc un repère orthonormé.

Exemple : [pic 5]

AB = √(3²+1²) = √10

AC = √(1²+4²) = √17

AD = √(4²+2²) = √20 = 2√5

Formule générale : AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²)

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