Résolution d'un exercice

Viem že strany BC, CD, a AD sú rovnako dlhé, môžem urobiť dve krúžnice z polomerom CD, jedna v bode C a druhá v bode D. Bod B bude na prvej krúžnicy a bod D na druhej. Body A a D budú na tej istej rovnobežke. Táto rovnobežka pretína každú krúžnicu v dvoch bodoch,

ale len dva body vytvoria lichobežník kde AB>CD:

Keby A bolo namiesto H, alebo B bolo namiesto G, ABCD by nebol

lichobežník ale rovnobežník. Ak by boli namiesto týchto bodoch naraz,

tak by AB<CD.

Dokázala som ako prvé že a .

Tým že , výšky trojuholníkov a sú rovnaké.

Viem že . Môžem preto použiť trigonometriou

a tak viem že a .

Teda že a . Tým že a že , viem povedať že . Tak isto dokážem že s trojuholníkmy a .

Trojuholníky EPF a DPC sú podobné lebo EF a DC sú rovnobežné. Preto môžem povedať že .

Keď predľžím CD a PB, povedala som si že sa pretinajú v bode H. Mám teda dva nové trojuholníky EPB a DPH čo sú podobné lebo EB a CD sú rovnobežné. Tým že sú podobné, môžem povedať že .

Tým že a môžem teda povedať že .

EB = 2*EF = 2a, teda a môžem teda povedať že DH = 2b.

Tým že b=DC, a že DH=DC+CH, 2b=b+CH a tak CH=CD=CB=b.

Body H, D a B sú preto na tej istej krúžnicy z polomerom b a zo stredom v bode C:

Trojuholník DCB je rovnoramenný, teda .

Tým že AB a CD sú rovnobežné, .

DBH je pravouhlý trojuholník v B, lebo DH je polomer krúžnice na ktorej sú body

B, D a H. a tak tým že , .

Trojuholník CBH je rovnoramenný lebo CB=CH, a tak .

AB a DH sú rovnobežné, teda .

Tým istým spôsobom ako som našla že H je na tej istej krúžnicy zo stredom C a z polomerom DC, môžem dokázať že G (bod v ktorom sa pretináju priamky PA a CD) je stred krúžnice zo stredom D a z polomerom CD. Odtiaľ môžem povedať tým istý spôsobom ako pre že .

V trojuholníku PAB, .

Viem že a teda .

lebo , a tým že , .

Teda .

...