Notion de fonction

Chaque fois qu'une grandeur y dépend d'une grandeur x, on dit que la première est une fonction de la seconde. Par exemple, la température est fonction de l'altitude : connaissant l'altitude, on peut calculer la température.

On va, ici, préciser cette notion de fonction, définir l'ensemble de définition d'une fonction (en effet si la variable apparaît en dénominateur ou sous un radical, certaines valeurs réelles sont alors interdites) et introduire l'étude de son sens de variation (la plupart des fonctions sont rarement monotones : leur sens de variation peut changer plusieurs fois sur leur ensemble de définition).

1. Une fonction est-elle toujours définie ?

• Une fonction numérique est une relation qui, à toute valeur d'une variable x, prise sur une partie D de l'ensemble des réels, associe une image unique y.

Si on appelle f cette fonction, on note : y = f(x).

Exemple

Si une automobile consomme 10 litres aux 100 km et dispose d'un plein de 50 litres, le nombre y de litres restant dans le réservoir s'écrit en fonction du nombre x de kilomètres parcourus, selon la formule : . Si on appelle f la fonction qui à x associe y, on a : .

Comme l'automobiliste ne pourra pas parcourir plus de 500 kilomètres, on dira que son ensemble de définition est l'intervalle [0 ; 500] et on note .

• Une fonction n'est pas définie pour les valeurs qui :

– annulent son dénominateur ;

– rendent négatives une expression sous un radical.

Exemple

La fonction inverse () est définie pour tous les réels non nuls. Son ensemble de définition est donc : .

La fonction racine carrée () est définie pour tout réel positif ou nul : .

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