Méthode de Newton
Cours : Méthode de Newton. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Yann Jt • 17 Septembre 2019 • Cours • 398 Mots (2 Pages) • 565 Vues
Définition
La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec pour application [pic 1]:
[pic 2]
On voit clairement que rechercher un point fixe de l'application [pic 3]revient à chercher une solution de l'équation
[pic 4]
On rappelle que la recherche d'un point fixe se fait via un algorithme itératif définit par la suite
[pic 5]
le schéma numérique de la méthode de Newton est donc donné par
[pic 6]
Interprétation géométrique
L'équation de la tangente à la courbe de f au point [pic 7]est donné par
[pic 8]
[pic 9]n'est rien d'autre que l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec l'axe (Ox), en effet
[pic 10]
On prend alors pour [pic 11]:
[pic 12]
Convergence de la méthode de Newton
{{Théorème.}} Soit [pic 13]et soit [pic 14]tel que
[pic 15]
et
[pic 16]
alors il existe [pic 17]tel que la méthode de Newton converge pour tout élément [pic 18]{{Preuve.}} Par hypothèse, [pic 19]est continue et [pic 20], il existe donc un [pic 21]tel que:
[pic 22]
La dérivée de [pic 23]est définie par:
[pic 24]
Par hypothèse, [pic 25]et [pic 26], par conséquent:
[pic 27]
De plus, [pic 28]est continue sur [pic 29]vu que
[pic 30]
écrivons la continuité de g' en [pic 31]dans l'intervalle [pic 32]
[pic 33]
c'est à dire
[pic 34]
Il existe alors [pic 35]tel que
[pic 36]
On a donc montré l'une des hypothèses du point fixe. Il reste à montrer à présent que g est stable dans l'intervalle [pic 37], c'est à dire:
[pic 38]
En utilisant le théorème de la moyenne on montre qu'il existe un élément [pic 39]tel que
[pic 40]
d'oà¹
[pic 41]
On a donc montré que: - [pic 42]et [pic 43]- il existe une constante [pic 44]dans ]0,1[ telle que [pic 45]. On conclut alors à l'aide du théorème du point fixe: la suite définie par [pic 46]converge vers [pic 47]le point fixe de [pic 48][pic 49].
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