Mémoire topologie de khalemsky

Table des matières

Introduction        3

1. Notions de base sur les espaces topologiques        5

1. Espaces topologiques        5
2. Base d’une topologie        7
3. Topologie induite        8
4. Connexité et connexité par arcs        9
5. Continuité        12

1. Espaces topologiques d’Alexandroff        16

1. Caractérisations des A-espaces        16
2. Topologie de Khalimsky        22

1. Le nombre des fonctions Khalimsky-continues et leurs comportement asymptotique        26

1. Les fonctions khalimsky-continues        26
2. Le nombre des fonctions Khalimsky-continues avec un codomaine de deux points        29

1. Le comportement asymptotique du nombre des fonctions continues

avec un codomaine de deux points        31

1. Le nombre des fonctions Khalimshy-continues avec un codomaine de trois points        35

1. Le comportement asymptotique du nombre des fonctions continues

avec un codomaine de trois points        38

REMERCIEMENTS

Je souhaite remercier en premier lieu mes encadreurs, Mr. Mohamed.Hbaib, et Mr. Noômen Jarboui pour leur attention de tout instant sur mes travaux, pour leurs conseils avisés et leur écoute qui ont été prépondérants pour la bonne réussite de ce mémoire. leur énergie, leur confiance et leurs qualités pédagogiques et scientifiques ont été des éléments moteurs pour moi.

J’adresse de chaleureux remerciements à Mr Afif Ben Amar d’avoir accepté de présider le jury de ce mémoire.

J’associe à ces remerciements Mr Karam Aloui d’avoir accepté de faire partie du jury

Mes vifs remerciements s’adressent également à tous les membres du laboratoire de théorie de nombre de la faculté des Sciences de Sfax.

DEDICACES

Je dédie ce travail : A mon cher père Mohamed et ma chère mère Faiza pour l’amour qu’ils me portent et les sacrifices qu’ils ont consenti pour ma réussite. Qu’ils trouvent ici le témoignage de ma profonde attache et le fruit de leur sacrifices.

A mon frère Omar pour le soutient et les encouragements qu’il m’a donné tout le long de mes études.

A mes tentes Sadika et Nessma pour la tendre affection qu’ils m’ont toujours témoignée et pour leurs conseils et aides. Que Dieu les protège.

A tous mes amis l’amitié et la fraternité qui a été pour moi très précieuses pendant les moments les plus difficiles.

Firas

Introduction

La topologie numérique a été étudiée à la fin des années 1960 par Azriel Rosenfeld, dont les publications sur le sujet ont joué un rôle majeur dans la création et le développement du champ. Le terme "topologie numérique" a été inventé par lui-même, qui l’a utilisé dans une publication en 1973 pour la première fois.

La géométrie numérique a été développée comme une géométrie de l’écran de l’ordina- teur, dont les éléments de pixels sont organisés dans une grille. Il est naturel d’utiliser des paires d’entiers pour les adresses des pixels ; d’où l’utilisation de Z2, ou plus généralement Zn, comme espace de base. La discrétisation en général est important dans de nombreuses autres branches des mathématiques, l’un d’eux étant l’analyse des fonctions continues . Pour définir une fonction continue il nous faut une structure topologique. Nous allons dé- finir la topologie Khalimsky de manière simple en utilisant simplement les ouverts de Z. Nous discuterons plus sur la topologie de Khalimsky et des fonctions Khalimsky-continues. Un sujet qui a été largement étudié est la droite numérique,[7] et [8], Melin [9] et [11] [12]. L’étude combinatoire sur la droite numérique était faite par Berenstein et Lavine [2]. Ils ont décrit dans leur travail le nombre de segments discrets de pente 0 ≤ α ≤ 1 de longueur L. Bédaride et al. [1] ont travaillé sur le nombre de segments de données

numériques.

L’objectif de ce mémoire est l’étude des fonctions Khalimsky continues d’un point de vue combinatoire. On va déterminer le nombre de ces fonctions qui sont dèfinies sur un intervalle de la droite numèrique Z muni de la toologie de Khalimsky K et à valeurs dans

[pic 2]

cette droite.

On commence le premier chapitre par rappeler quelques notions de base sur les espaces topologiques. Dans ces espaces on va définir les notions de limite, de continuité, et de voisinage. . . .

Le second chapitre qui occupe une place centrale dans ce mémoire a pour objectif principal l’introduction d’autres types d’espaces topologiques qui s’appellent les espaces d’Alexandroff . On donne une caractérisation de ces espaces, ensuite on donnera la défini- tion et les premières propriétés de la topologie de Khalimsky.

Nous prèsenterons la topologie de Khalimsky K en utilisant la base d’une topologie donné par :B = {{2n + 1}, {2n − 1, 2n, 2n + 1}; n ∈ Z}.

Le troisième chapitre est consacré pour l’examination des fonctions Khalimsky- continues. Dans cette section, on va étudier le nombre de ces fonctions avec un codomaine contenant jusqu’à trois points.

A la fin de ce chapitre, on étudie le comportement asymptotique du nombre de ces fonctions.

Chapitre 1

Notions de base sur les espaces topologiques

1. Espaces topologiques

Dans tous le chapitre on désigne par P (X) l’ensemble de toutes les parties de X.

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