Les variables aléatoires

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002)

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Chapitre 3

Variables aléatoires

Sommaire

1. Introduction…………………………………………………………………………………3

2. Variables aléatoires discrètes…………………………………………………4

2.1. Définition………………………………………………………………………………………………..4

2.2. Loi de probabilité………………………………………………………………………………….4

2.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….5

3. Variables aléatoires continues…………………………………………………7

3.1. Définition………………………………………………………………………………………………..7

3.2. Fonction densité de probabilité………………………………………………………..7

3.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….8

4. Espérance et variance………………………………………………………………11

4.1. Espérance mathématique……………………………………………………………………11

4.1.1. Variables aléatoires discrètes………………………………………….12

4.1.2. Variables aléatoires continues………………………………………….12

4.1.3. Propriétés de l’espérance…………………………………………………..13

4.2. Variance…………………………………………………………………………………………………14

4.2.1. Variables aléatoires discrètes………………………………………….14

4.2.2. Variables aléatoires continues………………………………………….15

4.2.3. Propriétés de la variance……………………………………………………15

5. Couples de variables aléatoires………………………………………………15

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5.1. Loi jointe…………………………………………………………………………………………………15

5.2. Indépendance entre variables aléatoires……………………………………….17

5.3. Covariance et corrélation……………………………………………………………..……18

5.4. Opérations sur les variables aléatoires……………………………………….…19

5.5. Généralisation à n variables aléatoires…………………………………….…….20

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1. Introduction

Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une

« grandeur » mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel.

La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle

de variable aléatoire (notée également v.a.). Ainsi le temps de désintégration d’un atome

radioactif, le pourcentage de réponses « oui » à une question posée dans un sondage ou

le nombre d’enfants d’un couple sont des exemples de variables aléatoires.

Remarque : On se limitera ici au cas des variables aléatoires réelles (les entiers faisant bien

sûr partie des réels).

Etant donné un espace probabilisé d’espace fondamental Ω et de mesure de probabilité P,

on appelle variable aléatoire sur cet espace, toute application X de Ω dans R telle que :

X: ε (Ω) → R

ω → X (ω)

A chaque évènement élémentaire ω de Ω correspond un nombre réel x associé à la variable

aléatoire X. Comme l’indique le graphe, il n’y a pas obligatoirement autant de valeurs

possibles prises par la variable aléatoire X que d’évènements élémentaires. La valeur x

correspond à la réalisation de la variable X pour l’évènement élémentaire ω.

Exemple :

Si l’on considère la constitution d’une fratrie de deux enfants, l’espace fondamental est

constitué des évènements élémentaires suivant :

Ω = {GG, GF, FG, FF}

Les valeurs possibles prises par la

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