Les fonctions dérivées
Cours : Les fonctions dérivées. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar mamamarine • 9 Janvier 2019 • Cours • 252 Mots (2 Pages) • 480 Vues
Définition
Soit f
une fonction définie sur un intervalle
II
I
et
aa
a
et
bb
b
deux réels appartenant à
II
I
.
On appelle taux d’accroissement de
ff
f
entre
aa
a
et
bb
b
le nombre :
T=f(b)−f(a)b−aT=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}
T=
b−a
f(b)−f(a)
Remarque
En faisant le changement de variable :
b=a+hb=a+h
b=a+h
(
hh
h
représente alors l’écart entre
bb
b
et
aa
a
), ce taux s’écrit aussi :
T=f(a+h)−f(a)hT=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}
T=
h
f(a+h)−f(a)
Interprétation graphique
Le taux d’accroissement de
ff
f
entre
aa
a
et
bb
b
est le coefficient directeur de la droite
(AB)(AB)
(AB)
.
Définition
Soit
ff
f
une fonction définie sur un intervalle ouvert
II
I
contenant
aa
a
.
On dit que
ff
f
est dérivable en
aa
a
si et seulement si le rapport
f(a+h)−f(a)h\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}
h
f(a+h)−f(a)
tend vers un nombre réel lorsque
hh
h
tend vers zéro.
Ce nombre s’appelle le nombre dérivé de
ff
f
en
aa
a
et se note
f′(a)f^{\prime}\left(a\right)
f
′
(a)
.
Exemple
Calculons le nombre dérivé de la fonction
f:x↦x2f : x\mapsto x^{2}
f:x↦x
2
pour
x=1x=1
x=1
.
f(1+h)−f(1)h=(1+h)2−12h=1+2h+h2−12h=2h+h2h=2+h \frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\frac{\left(1+h\right)^{2}-1^{2}}{h}=\frac{1+2h+h^{2}-1^{2}}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}=2+h
h
f(1+h)−f(1)
=
h
(1+h)
2
−1
2
=
h
1+2h+h
2
−1
2
=
h
2h+h
2
=2+h
Or quand
hh
h
tend vers
00
...