Exercice sur les Développements limités

EXERCICES SUR LES DEVELOPPEMENTS LIMITES

CALCUL DE DEVELOPPEMENTS LIMITES

1. Calculer le développement limité en 0 des fonctions f définies ci-dessous.

a) f(x) = (1 + 2 arctan x)(2e

x − sin x) ordre 3 b) f(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3) ordre 2

c) f(x) = 2 + arctan x

ch x

ordre 4 d) f(x) = x

e

x − 1

ordre 3

e) f(x) = ln(1 + x

3

)

tan x − x

ordre 3 f) f(x) = √

2 + cos x ordre 2

g) f(x) = e

√

2+cos x

ordre 2 h) f(x) = (1 + 2x)

1/x ordre 2

i) f(x) = ln ln(1 + x)

x

ordre 2 j) f(x) = √3

1 + sin x ordre 3

k) f(x) = cos(e

x

) ordre 2 l) f(x) = argsh √

1 + x ordre 2

2. Calculer le développement limité en 0 des fonctions f définies ci-dessous.

a) f(x) = (1 + arctan x)(e

x + 2 sin x) ordre 3 b) f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 4) ordre 2

c) f(x) = 1 + arctan x

cos x

ordre 4 d) f(x) = x

e

x − 1

ordre 5

e) f(x) = ln(1 + x

3

)

x − sin x

ordre 3 f) f(x) = √

1 + 2 cos x ordre 2

g) f(x) = e

√

1+2 cos x

ordre 2 h) f(x) = (1 + x)

1/x ordre 2

i) f(x) = ln sin x

x

ordre 4 j) f(x) = p3

1 + ln(1 + x) ordre 3

k) f(x) = cos(e

x

cos x ) ordre 4 l) f(x) = argch √

2 + x ordre 2

1

3. Calculer le développement limité en 0 des fonctions f définies ci-dessous.

a) f(x) = (cos(x + x

2

))2 ordre 3 b) f(x) = x(x − 1)(x − 2) ordre 2, puis 10

c) f(x) = e

x

(1 + x + x

2

) ordre 2 d) f(x) = sin2 x ordre 5

e) f(x) = ln(1 + x)

1 + x

ordre 3 f) f(x) = Zx

0

sin t

1 + t

dt ordre 5

g) f(x) = exp sin x

x

ordre 5 h) f(x) = ln(cos x + sin x) ordre 2

i) f(x) = 

1

...