Cours sur les exponentielles

2

e

On définit ainsi le nombre e comme l’unique solution de l’équation ln(x) = 1. Comme ln(x) varie de ∞ `a +∞ lorque x ∈]0; +∞[, il existe de même toujours une unique solution `a équation ln(x) = a pour tout a > 0.

Définition Pour tout nombre a, on note exp(a) le nombre réel qui et l’unique solution de l’équation

ln(x) = a.

Corollaire

• exp(0) = 1 car ln(1) = 0

• exp(1) = e car ln(e)=1

• Plus généralement : exp(x) = y ⇐⇒ x = ln(y) : les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques. On sait que, pour tout entier relatif n, ln (en) = n, et donc que exp(n) = en. On généralise cette notation `a tous les nombres réels : exp(x) = ex : la fonction exponentielle associe `a un nombre réel x la puissance x du nombre e.

On parle pour cette raison de fonction exponentielle de base e.

2) Proriétés algébriques

Comme exp(x) = ex est une puissance, on retrouve aussi les propriétés des puissances pour l’expo- nentielle : pour tout réel a et tous entiers n et n′ on a anan′ = an+n′, soit pour l’exponentielle :

Propriété Pour tous réels a et b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).

Démonstration:

1

0

0 1 2 3 4 -1

-2

Fonctions exponentielles

TSTI2D

I - Fonction exponentielle de base e

1) Définition

On rappelle le tableau de variation de la fonction logarithme népérien, et sa courbe représentative

Soit a et b deux réels, on a : ln(exp(a + b)) = a + b d’une part, et d’autre part a + b = ln(exp(a)) + ln(exp(b)).

Or ln(exp(a)) + ln(exp(b)) = ln(exp(a) × exp(b), et donc, on a a + b = ln(exp(a + b)) = ln(exp(a) × exp(b)), d’o`u le résultat. □

Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions exponentielles - TSTI2D - 1/5

ln

x

−∞

0 +∞

+∞

Propriété • exp(x) = ex

• ln (ea) = a • eln(b) = b

• Pour tous • ea+bea eb réels x et y > 0, • ea−b y = =

ex ea

⇐⇒ ln(y) = x • Pour tout réel x, ex > 0

ea

• (ea)

b

= eab

Exercice 1 Simplifier les expressions :

a) eln(2) b) e− ln(3) c) e2 ln(5) d) e

1

2

Exercice 2 Résoudre dans IR les équations suivantes :

a) ex = 3 b) ex +1=0 c) ex+3 = 1 d) ln(x) = 6 e) ln(x) = −2 f) ln(x +2)=5

3)

Etude  ́

de la fonction exponentielle

Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l’une de l’autre : pour tout réel x, ln (exp(x)) = x.

Soit f la fonction définie par f(x) = ln (exp(x)), donc f(x) = x. f est une fonction composée, et donc, f ′(x) = exp′(x) ln′ (exp(x)) = exp′(x)

1

= 1, ce qui montre que exp′(x) = exp(x).

Propriété La fonction exponentielle est dérivable sur IR et est égale `a sa dérivée :

pour tout réel x, exp′(x) = exp(x).

Corollaire • Pour toute fonction u dérivable, on a (eu)

′

= u′ exp(u).

• Comme pour tout réel x, ex > 0, on en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR. En particulier, pour tous réels a et b : — ea = eb ⇐⇒ a = b — ea < eb ⇐⇒ a eb ⇐⇒ a>b

Exercice 3 Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

a)f(x)=3ex + x b)f(x) = xex c)f(x) =

1

e)f(x) = (3x2 + x)ex

f)f(x)=(ex + x2)

2

g)f(x) = ex cos(2x) h)f(x) =

3

i)f(x) = e3x+2 j)f(x)=5e−x+3

k)f(x) = xe3x l)f(x) =

1

2e−x − 1

Exercice 4 Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a)f(x)=2ex b)f(x) = x +1+ ex c)f(x) = e2x d)f(x) = e−x

e)f(x) = −5e3x+2 f)f(x)=3e0,02x g)f(x) = −2e−2x + e−x h)f(x) = xe2x2

Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions exponentielles - TSTI2D - 2/5

)

i) e3e5 j) e−5e3e2 k) (e−3)

2

l)

1

.

D’autre part, comme f(x) = x, on a aussi f′(x) = 1.

En résumé, on a donc f ′(x) =

exp′(x)

e2x−1

exp(x)

e7

2

ln(16) e) ln (e3) f) ln(e−4) g) ln (

m)f(x) = ex2+1 n)f(x) = cos(2x)e3x p)f(x) =

m)

eb

e−x+2

1

ex + 3

2ex − 1

n) e−x+3e2x+2 p)

d)f(x) =

• e−a =

2ex − 1

ex + 2

1

e3x+2

e2x+3

exp(x)

√

e) h) ln

q) (e−2x+3)

(

1

√

e3

e2x + 1

Exercice 5 Déterminer deux réels a et b tels que la fonction F : x ↦→ (ax + b)ex soit une primitive de la fonction f : x ↦→ (2x + 1)ex.

4) Courbe représentative et limites

Soit M(x;y) un point de la courbe représentative de la fonction exponentielle, donc tel que y = ex. On a alors que ln(y) = x, et donc le point M′(y;x) est un point de la courbe représentative du logarithme népérien.

Comme les points M(x; ) et M′(x′;y′) par la symétrie d’axe la droite y = x, les courbes représentatives du logarithme népérien et de l’exponentielle sont symétriques l’une de l’autre par rapport `a cette droite.

y = ex

e

On déduit ainsi des limites de la fonction logarithme népérien celles de l’exponentielle :

Propriété x→+∞

lim

y = ln(x)

y = x

1

1

e

La droite ex = d’équation +∞ et x→−∞

lim

y ex = 0.

= 0, c’est-`a-dire l’axe des abscisses, est asymptote `a la courbe représentative de la fonction exponentielle en −∞.