Comportement d’une suite numérique

Chapitre 7 : Comportement d’une suite numérique

I. Sens de variation d’une suite numérique

Exemple : On a représenté le nuage de points des

premiers termes d'une suite (un) :

On peut conjecturer que cette suite est croissante à

partir du rang 3.

A) Définitions

Soit une suite numérique


 et un entier .



 est monotone à partir du rang  signifie que la suite


 est soit croissante à

partir du rang , soit décroissante à partir du rang .

•


 est croissante à partir du rang  signifie que pour  ≥ , on a 

≥ 



−  ≥ 0

•


 est décroissante à partir du rang  signifie que pour  ≥ , on a 

≤ .



−  ≤ 0

•


 est constante à partir du rang  signifie que pour  ≥ , on a 

= .



−  = 0

Comme pour les fonctions, si on remplace les inégalités larges par des inégalités

strictes, on parle de suite strictement croissante, strictement décroissante, ou

strictement monotone.

B) Méthodes de détermination du sens de variation

Méthode 1 : pour déterminer le sens de variation d’une suite numérique, on peut

étudier le signe de 

− 

Pour tout n de ℕ, on donne la suite (un) définie (de manière explicite) par :

 =  − 4 + 4

Déterminer les variations de cette suite.

• On détermine : 

=
 + 1

 − 4
 + 1 + 4

• On calcule la différence 

−  :



−  = [
 + 1

 − 4
 + 1 + 4] −


 − 4 + 4

=  + 2 + 1 − 4 − 4 + 4 −  + 4 − 4

= 2 − 3

• On étudie ensuite le signe de 

−  :



...