Matrices.

Sommaire

Introduction        2

I.        Pré-requis        3

1.        Algèbre linéaire général        3

a.        Matrices carrés        3

b.        Somme et différence de deux matrices        5

c.        Multiplication de deux matrices        5

d.        Produit d’une matrice par un scalaire        6

e.        Déterminants        6

2.        Matrices semblables        7

3.        Matrice de changement de base de B à B'        9

II.        Réduction des matrices        11

1.        Valeurs propres, vecteurs propres        11

2.        Diagonalisation, Trigonalisation        14

3.        Forme réduite de Jordan d'une matrice non diagonalisable        17

a.        Matrice triangulaire semblable à une matrice donnée        17

b.        Forme réduite de Jordan        18

4.        Application concrète en dynamique des populations.        19

III.        Applications        21

1.        Application des déterminants        21

2.        Applications de la diagonalisation        22

a.        Puissances        22

b.        Exponentielle d'une matrice        23

c.        Autres fonctions        24

3.        Application aux suites        25

4.        Application aux systèmes différentiels        26

Conclusion        28

Bibliographie        29

Introduction

        Dans cette leçon nous essayerons de simplifier certains problèmes en faisant intervenir les matrices. L'idée principale est de chercher une base dans laquelle une matrice donnée pourra s'écrire le plus simplement possible Il est plus naturel, pour introduire ces notions, de se placer dans le cadre de l'algèbre linéaire et des endomorphismes d'un espace vectoriel de type fini (on dit aussi espace vectoriel de dimension finie). L'application aux matrices en découle très facilement. Ainsi dans toute l’étude nous considérerons un espace vectoriel [pic 1] de dimension finie n sur un corps K (K=C ou R).

 On peut donc considérer que E = Rn ou E = Cn.

Les objectifs de cette étude sont :

• Chercher une base dans laquelle une matrice donnée pourra s’écrire le plus simplement possible
• D’apprendre une condition nécessaire et suffisante de diagonalisation et voir que dans certains cas favorables, cette forme sera diagonale, on dira alors que la matrice est diagonalisable, dans d’autres cas, elle prendra la forme d’une matrice de Jordan
• Voir quelques applications fondamentales aux systèmes linéaires

La problématique générale est la suivante :

Si [pic 2] est un espace vectoriel de type fini, de dimension supérieure ou égale à [pic 3] et [pic 4] un endomorphisme de[pic 5] , il s'agit de déterminer s'il existe une base de [pic 6] telle que la matrice de [pic 7] par rapport à cette base soit "simple", plus précisément diagonale, ou, à défaut triangulaire.

Pour cela il nous est nécessaire d’avoir certains pré-requis permettant de mieux comprendre le chapitre étudié. Il est donc utile de connaitre :

• L'algèbre linéaire générale y compris la notion de somme directe de plus de 2 sous-espaces
• La notion de matrices semblables et les formules de changement de bases
• Les déterminants et leurs applications.

Par la suite nous allons approfondir la diagonalisabilité, ou dans le cas échéant, la trigonalisabilité d’une matrice. Et pour finir nous allons voir quelques applications liées à la réduction d’une matrice.

1. Pré-requis

Les matrices les plus simples sont les matrices diagonales. On est alors amené à se poser le problème suivant : une matrice A quelconque peut-elle être associée simplement à une matrice diagonale. Nous allons tout d'abord préciser le type d'association dont il est question.

1. Algèbre linéaire général

On appelle matrice de type ( [pic 8] , [pic 9] ), un tableau à [pic 10] lignes et [pic 11] colonnes formées d'éléments d'un ensemble [pic 12] ( [pic 13] = [pic 14] ou [pic 15] ).

Le terme situé à la [pic 16] ligne et la [pic 17] colonne d'une matrice [pic 18] est noté  [pic 19] .

Nous adopterons, pour la représentation matricielle d'une matrice  [pic 20] , les formes suivantes :

[pic 21]  avec  [pic 22] et [pic 23]

[pic 24]

Les barres verticales sont utilisées pour le déterminant d'une matrice carrée.

1. Matrices carrés

Définition

On appelle matrice carrée, une matrice du type ( [pic 25] , [pic 26] ) l'ensemble des matrices carrées de dimension [pic 27] dans [pic 28] est notée [pic 29] ou[pic 30] .

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