Opérations élémentaires sur les matrices

École Supérieure de Technologie de Casablanca

Recherche opérationnelle Pr Azeddine Baalal

Filière : Génie Informatique

Printemps 2012

Table des matières

1 Calcul matriciel 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Les di¤érents types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3 Matrice symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.4 Matrice anti-symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.5 Matrice scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.6 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.7 Matrice triangulaire supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7.1 Cofacteur et expansion du déterminant par les cofacteurs . . . . . . 10

1.7.2 Formules de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.4 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.5 Marche à suivre pour inverser une matrice . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Transformations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10.1 Les trois cas de …gure qui peuvent se présenter dans un système

d’équations, à savoir m = n, m > n et m < n. . . . . . . . . . . . . 17

1.11 Le solveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11.2 Exemples d’utilisation du solveur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11.3 Où trouver le solveur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11.4 Quelques dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11.5 Les paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11.6 Les options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11.7 Expression des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11.8 Utilisation de l’outil Solveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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TABLE DES MATIÈRES 3

1.12 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Programmation linéaire 32

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Exemple d’un problème de production. . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3 L’outil Solveur d’Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Formes générales d’un programme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Forme canonique mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Forme canonique pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 Forme standard . . . .

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