John Hull Options,futures And Other Derivatives

Les concepts sous-jacents à l'équation aux dérivées

partielles de Black-Scholes-Merton

L'équation aux dérivées partielles (EDP) de Black-Scholes-Merton est une équation

qui doit être vérifiée par tout produit dérivé Iié à une action ne versant pas de dividendes.

Cette équation sera étudiée à la section suivante. Nous nous attacherons à

caractériser Ia nature des raisonnements suivis.

Ceux-ci sont analogues au raisonnement d'arbitrage, décrit au chapitre 11 et uti-

1isé pour l'évaluation des options à l'aide de la méthode binomiale. IIs impliquent

1a construction d'un portefeuille sans risque consistant en une position sur 1e produit

dérivé et une position sur 1'action elle-même. En 1'absence d'opportunités d'arbitrage,

1'espérance de rentabilité du portefeuille doit être égale au taux sans risque, r. Ceci

nous conduit à I'EDP de Black-Scholes-Merton.

La raison pour laqueile i1 est possible de construire un portefeuille sans risque composé

d'une action et d'un produit dérivé vient du fait qu'ils sont tous deux exposés à la

même source d'incertitude : Ia variation du prix de I'action. Sur tout intervalle de

temps très court, 1a valeur du produit dérivé est parfaitement corrélée avec le prix

de l'action sous-jacente. Ainsi, quand un portefeuille approprié, composé de l'action

et de son produit dérivé, est constitué, le gain ou ia perte sur ie sous-jacent sont

systématiquement compensés par le gain ou la perte sur le produit dérivé. Ainsi,

au terme du court intervalle de temps, la valeur globale du portefeuille est touiours

connue avec certitude.

Supposons, par exemple, qu'à un instant précis, Ia reiation entre une variation infinitésimale

du cours de l'action, AS, et une variation du même ordre de grandeur de

Ia valeur d'un call européen sur cette action, notée Ac, soit égaie à :

Ac: 0,44,5

Cette égalité indique que Ia pente de la droite représentant Ia relation entre c et S est

de 0,4 (voir graphique 13.2).Le portefeuille sans risque consiste donc en:

1, Une position longue sur 0,4 action.

2. IJne position courte sur un call.

Il y a cependant une différence entre I'approche de Black-Scholes-Merton et l'approche

présentée au chapitre

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