Quelques jeux de théorie de l'exercice

Quelques exercices de théorie des jeux

(ces exercices, sauf le premier, proviennent d’un polycopié d’exercices écrit par François Marini et

Françoise Forges, pour un cours dans un master d’économie de Dauphine.)

Exercice 1 (un duel)

a) Duel au pistolet bruyant à une balle

Deux personnes se battent en duel. Les duellistes ont chacun une balle dans leur pistolet. Ils

marchent l’un vers l’autre à une vitesse constante et , en partant au coup de sifflet à t = 0, ils

devraient se rencontrer à t = 1. Si le joueur i tire sur j à l’instant t, il le touche avec une probabilité

pi(t) ; pi(t) est supposé strictement croissante, continue, et telle que pi(0) = 0, pi(1) = 1. Le paiement

du joueur i est 1 s’il touche son adversaire avant d’être touché, −1 dans le cas symétrique et 0 si

aucun n’est touché ou s’ils sont touchés au même instant.

Si l’autre a déjà tiré (et n’a donc plus de balles), le mieux est d’attendre t = 1 pour tirer, afin

d’être sûr de faire mouche. On ne s’intéressera donc qu’à des stratégies du type "tirer à l’instant

t = ai si l’autre n’a pas tiré avant ai, tirer à l’instant t = 1 sinon", où ai ∈ [0, 1].

1) Représenter cette situation comme un jeu sous forme normale à somme nulle. Déterminer les

fonctions de paiements.

2) Montrer que ce jeu a une valeur et que la stratégie optimale des deux joueurs est de tirer à t∗

défini par p1(t∗) + p2(t∗) = 1.

b) Duel au silencieux, à une balle.

La situation est identique sauf que les duellistes, munis de silencieux, ne peuvent pas savoir si

leur adversaire a déjà tiré (si bien qu’une stratégie du type "tirer à l’instant t = ai si l’autre n’a pas

tiré avant, tirer à l’instant t = 1 sinon" n’est plus réalisable). Représenter cette situation par un jeu

sous forme normale. Montrer que ce jeu n’a pas de valeur (en stratégies pures).

On pourra montrer tout d’abord que s’il y a un équilibre (en stratégie pures), alors dans cet

équilibre, les deux joueurs tirent au même moment, puis montrer qu’il n’y a aucun équilibre (en

stratégies pures).

Exercice 2

Le jeu se joue entre André et Betsy, avec l’aide d’un meneur de jeu. Celui-ci tire à pile ou face

une pièce biaisée qui tombe sur “face” 8 fois sur 10. Ce biais est connu des joueurs (connaissance

commune).

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