Fonction de la valeur absolue

FONCTION VALEUR ABSOLUE[pic 1]

[pic 2]

La valeur absolue d’un nombre réel positif est le nombre lui-même. La valeur absolue d’un nombre négatif est l’opposé de ce nombre . Autrement dit, la valeur absolue du nombre x, notée |x|, est : |x|= -x si x ≤ 0

                                                x si x  ≥ 0

Exemple : |4|=4

                |-5|=5  

Propriétés :

• Pour tout réel x, |x| ≥ 0 ; |x| = 0 si et seulement si x = 0 ; |-x| = x.

• Pour tout réel x, √x² = |x|, et (√x)² = x .

Exemple :

La valeur absolue est la fonction définie sur ℝ  par : x→|x|

La fonction valeur absolue est :[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

• strictement décroissante sur ]- ∞;0] ; [pic 9]

• strictement croissante sur [0;+∞[ ;[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l’axe                       des ordonnées.[pic 14]

[pic 15][pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = |2x-3|.

a) Écrire, pour tout x ∈ ℝ, la fonction f(x) sans le symbole de la valeur absolue.

b) Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthonormé (0;i,j).

Correction :[pic 19]

a) Soit  x ∈ ℝ. Par définition de la valeur absolue d’un nombre réel,

on a f(x) = { 2x-3,    si 2x-3 ≥ 0 ; or le signe sur  ℝ de 2x-3 est :

                  {-(2x-3), si 2x-3 < 0[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

donc f(x)= { 2x-3,   si  x  ≥  3/2 ; soit finalement f(x) = { 2x-3,  si x ∈ [3/2 ; +∞[

                  { -2x-3,  si  x <  3/2                                       {-2x+3, si x ∈ ]3/2 ; +∞]

b) Cf est donc la réunion des deux demi-droites d’équation :

y = -2x+3,   sur l’intervalle ]-∞ ; 3/2],

et y = 2x-3, sur l’intervalle [3/2 ; +∞[.

D’où la représentation graphique Cf  ci-contre :

[pic 31]

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