TD mécanique sur les systèmes

TD Méca n°2 : éléments de correction

[pic 1][pic 2]

Objectif : identifier sans confusion les systèmes.

Note : on néglige ici le poids de la corde, mais c’est juste pour clarifier le pb. Ça ne changerait que la norme de la réaction du plafond.

[pic 3]

Vitesse de l’acrobate : constante donc son accélération est nulle : 𝑎⃗ = ⃗0⃗

La corde est à l’équilibre, son accélération est nulle.

Pour le système {acrobate} :

Application du PFD : ∑ 𝐹⃗  = ⃗𝐹⃗⃗𝐶⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝑎⃗ + 𝑃⃗  = ⃗0⃗

⃗𝐹⃗⃗𝐶⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝑎⃗ = −𝑃⃗  = −𝑚𝑔⃗

‖𝐹⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝑎⃗‖ = ‖−𝑃⃗ ‖ = 𝑚𝑔

Pour le système {corde} :

Application du PFD : ∑ 𝐹⃗  = ⃗𝐹⃗⃗𝑎⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗ + ⃗𝐹⃗⃗𝑃⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗ = ⃗0⃗

⃗𝐹⃗⃗𝑎⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗ = −𝐹⃗⃗⃗𝑃⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗

‖𝐹⃗⃗⃗𝑎⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗‖ = ‖−⃗𝐹⃗⃗𝑃⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗‖

3ième  loi de Newton :  𝐹⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝑎⃗ = −𝐹⃗⃗⃗𝑎⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗

‖𝐹⃗⃗⃗𝑎⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗‖ = ‖−⃗𝐹⃗⃗𝑃⃗⃗⃗→⃗⃗⃗𝐶⃗‖ = 𝑚𝑔

[pic 4][pic 5]

Objectif :

Introduire la poulie.

Difficulté: voir que les accélérations de m1 et m2 sont égales en normes même si la projection donne des signes opposés

Note :

Les poids des cordes sont toujours négligés

Je conseillerais de garder l’écriture de la norme ‖𝐹⃗‖ et non F afin d’éviter le pb de signe.

On peut aussi le corriger en prenant le système complet (masses +corde) auquel s’appliquent

deux force P1 et P2. Ne pas hésiter à le faire.

Le fil est inextensible : la tension est la même partout. Système {m1}[pic 6]

Forces : poids  𝑃⃗⃗⃗1⃗ = 𝑚1𝑔⃗  et tension du fil 𝑇⃗⃗⃗1⃗ PFD : 𝑚1𝑔⃗ + 𝑇⃗⃗⃗1⃗ = 𝑚1𝑎⃗⃗⃗⃗1⃗

En projetant sur 𝑢⃗⃗⃗⃗𝑧⃗ : −𝑚1‖𝑔⃗‖ + ‖𝑇⃗⃗⃗1⃗‖ = −𝑚1‖⃗𝑎⃗⃗⃗1⃗‖ (1)

Système {m2}

Forces : poids  𝑃⃗⃗⃗2⃗ = 𝑚2𝑔⃗  et tension du fil 𝑇⃗⃗⃗2⃗ PFD : 𝑚2𝑔⃗ + 𝑇⃗⃗⃗2⃗ = 𝑚2𝑎⃗⃗⃗⃗2⃗

En projetant sur ⃗𝑢⃗⃗⃗𝑧⃗ : −𝑚2‖𝑔⃗‖ + ‖𝑇⃗⃗⃗2⃗‖ = +𝑚2‖𝑎⃗⃗⃗⃗2⃗‖ (2)

D’après les hypothèses (fil inextensible) :

‖𝑇⃗⃗⃗2⃗‖ = ‖𝑇⃗⃗⃗1⃗‖ et ‖⃗𝑎⃗⃗⃗2⃗‖ = ‖𝑎⃗⃗⃗⃗1⃗‖ = 𝑎

En calculant (2)-(1)

𝑚1‖𝑔⃗‖ − ‖𝑇⃗⃗⃗1⃗‖ − 𝑚2‖𝑔⃗‖ + ‖𝑇⃗⃗⃗2⃗‖ = +𝑚2‖𝑎⃗⃗⃗⃗2⃗‖ + 𝑚1‖⃗𝑎⃗⃗⃗1⃗‖

𝑚1‖𝑔⃗‖ − 𝑚2‖𝑔⃗‖ = +𝑚2𝑎 + 𝑚1𝑎

𝑎 = 𝑚1−𝑚2 𝑔        (𝑚  > 𝑚

) 𝑎 > 0

𝑚1+𝑚2        1        2

[pic 7][pic 8]

[pic 9]

...