Les limites de la démonstration

Limte de la demonstration :

Nous avons vu que les mathématiques et leurs procédés démonstratifs avaient longtemps constitué un modèle, un idéal ou encore un paradigme pour les autres sciences et pour la philosophie. Nombreux cependant ont été ceux qui ont remis en question la validité d’une évaluation de ces autres savoirs (et notamment des sciences humaines) par comparaison avec les mathématiques. Plus rares sont ceux qui comme Wittgenstein se sont attachés à « démystifier » les mathématiques et leur prétendue « pureté ».Si, dans sa première œuvre, le Tractatus Logico Philosophicus, Wittgenstein demeure attaché à une conception qui apparente les mathématiques à la logique (sans faire de cette dernière leur fondement comme Russell), il va ensuite présenter une conception tout à faire originale. Selon lui, les « nécessités » mathématiques se présentent dans le langage comme un ensemble de règles à suivre. Les mathématiques sont un ensemble de « techniques bariolées », de techniques de création de concepts et de relations entre concepts. Les mathématiques ne découvrent donc pas quelque chose qui était jusqu’alors caché, comme le sont les objets du monde des Idées platoniciennes ; elles construisent, par la démonstration, ces connexions entre concepts. Chaque démonstration devient par la suite un paradigme visuel, pouvant être recopié indéfiniment, et qui, en exhibant les connexions, force la conviction.

Il faut également se poser la question de l’existence des objets mathématiques qui peuplent les démonstrations. Prenons l’exemple de la démonstration par l’absurde ; celle-ci procède par réfutation de la proposition contraire à celle que l’on souhaite démontrer ; elle consiste donc à montrer que la proposition contraire est contradictoire. La proposition de départ a donc bien été démontrée ; mais peut-on dire que son contenu existe, au sens mathématique, c’est-à-dire au sens où ce contenu pourrait être défini, étant donné qu’il nous est connu que par la contradiction que présente autre chose que lui. Plus généralement, c’est donc l’existence des objets mathématiques qui doit être mis en question. Que l’on pense aux géométries non-euclidiennes. Les successeurs d’Euclide pensaient que les axiomes étaient des hypothèses qu’on ne savait pas démontrer mais qui devaient pouvoir l’être. Or, par exemple, toutes les tentatives de démonstration du postulat des parallèles (disant qu’elles ne se rencontrent jamais) échouèrent. Lobatchevski et Riemann ont ainsi été conduits à montrer qu’en partant d’axiomes contredisant ceux d’Euclide, on pouvait bâtir un système de géométrie cohérent. Il est vrai que la correspondance d’un tel système avec la réalité était très inférieure à celle d’Euclide (mais pensons à l’étrangeté que présente la théorie de la relativité d’Einstein pour le sens commun). Avec ses géométries non-euclidiennes s’est alors dévoilé ceci qu’il n’existe pas un modèle unique de représentation de la réalité. De plus, le désir de voir les axiomes démontrés à leur tour semble être un vœu pieu. Quelle que soit la puissance des mathématiques, il devient évident qu’elles ne sont rien d’autre que des œuvres de l’esprit humain et non des « réalités

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