Est-il raisonnable de donner à la recherche du savoir une telle ambition ?

Pour répondre à cette question il semble tout d’abord légitime de nous étonner face à une ambition aussi vaste. Est-il raisonnable de donner à la recherche du savoir une telle ambition ? N’y a-t-il pas ici le risque d’une dérive dogmatique du savoir qui devrait, finalement, ne jamais suivre que le seul modèle géométrique ? Est-on en droit d’exiger que toute chose, tout domaine et même tout sujet existant soit soumis aux exigences de la démonstration ? Par ailleurs est-ce, sinon un droit, une exigence propre à la recherche de la connaissance du réel ?

            D’une part il apparaît que la totalité de ce qui est ne semble pas, à première vue, requérir un travail démonstratif : ai-je besoin d’une démonstration pour dire que ce doigt est un doigt ou même pour dire qu’un doigt est plus petit qu’un autre ?

            Si par démontrer nous entendons déduire, c'est-à-dire conclure une propriété d’un objet ou d’une figure à partir d’une loi ou d’un principe universel et nécessaire, alors nous sommes peut-être en droit de nous dire que nous n’avons pas besoin d’autant d’intelligence pour comparer deux doigts. Certes je peux mesurer l’un, puis mesurer l’autre, puis enfin grâce au principe d’identité et de différence de l’arithmétique, déduire que l’un est plus petit que l’autre. Mais faut-il seulement procéder ainsi ? Est-ce là une démarche raisonnable et, surtout, bien utile ? Aussi il semble déjà à première vue surprenant que l’on puisse se demander s’il faut chercher à tout démontrer.

            Mais cette question est d’autant plus surprenante qu’il apparaît de surcroît que même dans les disciplines où la démonstration est une méthode incontournable, notamment en mathématiques, non seulement on prend pour point de départ des axiomes – lesquels par définition ne sont pas démontrables – mais de surcroît on finit toujours par buter sur des indémontrables : c’est le célèbre théorème de Gödel[1] selon lequel tout ce que l’on peut démontrer parfois c’est que le résultat d’un calcul algébrique est indécidable.

            Mais n’est-ce pas malgré tout, ce célèbre théorème, une démonstration ? Certes, c’est une démonstration négative, mais c’est bien une démonstration. De plus ce théorème nous enseigne qu’il en va ainsi potentiellement de toute démonstration : il démontre que toute démonstration peut tomber sur des indémontrables.

            Aussi si dans un premier temps il nous faudra voir dans quelle mesure la démonstration peut apparaître à bien des égards comme un modèle de savoir et de cohérence. Il apparaîtra toutefois que la démonstration elle-même permet de limiter le champ et l’étendue de la démonstration. Néanmoins c’est bien toujours au moyen d’une démonstration qu’on doit le faire. Il y a donc là une contradiction performative qu’il nous faut tenter de dépasser. Nous nous demanderons enfin dans quelle mesure toute activité humaine exige d’être justifiée et encadrée par un cadre cohérent de justification. Faut-il par exemple en politique, plutôt chercher à convaincre par des démonstrations ou plutôt chercher à persuader ?

A. La démonstration est-elle le seul modèle du savoir ?

On assimile traditionnellement la démonstration à la déduction. Toutefois il n’est pas évident que ce soit si simple.

Déduire c’est conclure une propriété à partir d’un énoncé général ou universel.

Exemple : Tout homme est mortel, Socrate est un homme C : Socrate est mortel.

On va donc de l’universel au particulier dans la déduction.

La démonstration comprend en elle la déduction. C’est ce que l’on fait, par exemple, en algèbre :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

 Je peux démontrer que cette proposition particulière est vraie si je peux la rapporter à un axiome formel, c'est-à-dire à une proposition qui s’impose par elle-même à savoir l’égalité 1=1.

Démonstration :

(a+ b)² = a² + 2ab + b²

(a+ b)² = a² +ab +ab + b²

(a+ b)² = a (a+b) + b (a+b)

(a+ b)² = (a+b) (a+b)

(a+ b)² = (a+b)²

1 = 1

Dans les deux cas, c'est-à-dire dans la démonstration comme dans la déduction, on infère bien la vérité d’une proposition en la rapportant à une proposition universelle et nécessaire. Toute déduction semble donc être une démonstration et toute démonstration une déduction.

Toutefois il y a une différence entre la proposition Socrate est mortel et la précédente identité remarquable dont on vient de faire la démonstration.

En mathématiques on ne passe pas de l’universel au particulier. Ce que l’on démontre c’est que la proposition (a+ b)² = a² + 2ab + b² est universelle. Or ce que l’on démontre dans le précédent syllogisme c’est quoi ? Que Socrate est mortel : c’est une proposition non pas universelle mais une proposition particulière.

Donc ce que l’on peut dire c’est que la démonstration est avant tout une démarche propre aux mathématiques. Aussi s’il faut chercher à tout démontrer, cela signifie qu’il faudrait tout rapporter à la logique mathématique, laquelle est formelle.

L’objet ou le concept mathématique n’est rien d’autre que sa définition alors que le mot Socrate ou le mot homme sont des signifiants qui renvoient à des référents sensibles : les hommes et l’homme Socrate. Il en va autrement du symbole mathématique : il ne renvoie qu’à lui-même.

Donc

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