Économétrie, notions générales

CHAPITRE 1 : Notions générales

1. Introduction et définitions

Les tests d’hypothèses appartiennent à l’univers de la statistique. Qu’est-ce qu’on fait en statistiques ? On collecte des informations dont on va tirer un enseignement.

Le statisticien, quand il étudie une population, ne dispose pas de l’ensemble des informations concernant chacun des individus composants cette population. Si le statisticien avait l’information totale, aucun test statistique ne serait utile.

Donc par définition, le statisticien ne va connaître que l’information nécessaire à l’étude des individus d’un échantillon qu’il aura tiré au hasard. Le matériau du statisticien c’est l’échantillon malgré que ça ne soit pas l’échantillon qui l’intéresse.

L’objet du cours va être de tirer les informations concernant l’échantillon afin de pouvoir dire des choses sur la population.
On va émettre une hypothèse relative à la population, et en étudiant l’échantillon, on va voir si l’hypothèse émise est vérifiée ou non.

Définition : On parlera de test d’hypothèse lorsque le statisticien cherchera à tester une hypothèse émise à propos de l’ensemble de la population. Pour juger de cette hypothèse, il utilisera les données d’observation dont il dispose, c’est-à-dire les données de l’échantillon.
Donc l’échantillon constitue l’outil permettant de porter un jugement sur la réalité de l’hypothèse émise.

La conclusion tirée quant au bien-fondé ou au mal-fondé de l’hypothèse s’accompagne d’un risque d’erreur. Car s’il on veut qu’il n’y ait aucun risque d’erreur, il faut examiner tous les individus de la population sans exception. On n’a pas toute l’information donc forcément, on prend un risque.

Le test constitue une démarche statistique assez téméraire parce que le but est de fournir des réponses de portée générale à partir d’informations imparfaite puisque partielles.
Les tests appartiennent au domaine de l’inférence statistique.
Mais qu’est-ce que l’inférence ? 
De manière générale, l’inférence est une opération intellectuelle par laquelle on passe d’une vérité à une autre vérité jugée telle, en raison de son lien avec la première.
Dans notre cas, la première vérité est celle de l’échantillon, on passe donc de cette vérité à une vérité concernant la population en raison de leur lien. Ces deux vérités ne sont pas déconnectées.

Donc le test ne permet pas d’acquérir de certitude, cependant, le test constitue une technique qui, s’appuyant sur le calcul des probabilités et sur certaines propriétés des distributions d’échantillonnage, permet de formuler des jugements assortis d’un degré quantifiable de crédibilité.
A chaque fois que le test débouchera sur une décision (quelle que soit cette décision), ce degré sera précisé (A contrario, puisqu’on précisera la probabilité de se tromper).

Quels sont les tests auxquels on peut procéder ?

• On s’interroge sur la caractéristique d’une population, appréhendée à travers l’étude d’un paramètre. On se demande si le paramètre en question peut être ou non considéré comme égal à une valeur donnée, à une valeur de référence. C’est ce qu’on appelle un test de comparaison d’un paramètre à un standard.
  Définition : le paramètre est une grandeur mesurable permettant de présenter de façon plus simple, les caractéristiques principales d’un ensemble statistique.
  Exemple : La moyenne sera notée « m ». La proportion sera notée « p ». La variance sera notée « σ² ». L’écart-type sera noté « σ ».
• On se demande, à partir d’une caractéristique donnée, si le paramètre revêt la même valeur au sein de deux populations différentes.
• On se demande, à partir d’une caractéristique donnée, si le paramètre revêt la même valeur au sein de plus de deux populations différentes.
• Test non paramétrique, on se demande si une distribution empirique correspond ou non à une distribution classique de probabilité. C’est ce qu’on appelle un test d’ajustement d’une distribution empirique par une loi classique de probabilité. 

Dans quels domaines s’appliquent les tests ?

Les tests peuvent s’appliquer à l’industrie, à l’économie, en gestion, en marketing, etc.

1. Les différentes étapes d’un test d’hypothèse

On test une hypothèse concernant un état de la nature, relatif à une ou plusieurs population. Cette hypothèse, apriori, nous semble réaliste, elle est donc privilégiée. Cette hypothèse est appelée hypothèse nulle ; elle est notée H0, c’est l’hypothèse de base.
C’est l’hypothèse, dans certains cas, où le rejet à tort aura les conséquences les plus fâcheuses. Elle est donc choisie selon le contexte et le point de vue adopté. Elle reflète le penchant du statisticien pour certains états de la nature en faisant appel à différentes considérations.

Le test consiste à confronter à l’hypothèse H0, une hypothèse complémentaire/alternative, qui présente un autre ou d’autres états de la nature. Cette hypothèse sera notée H1.

Tout le raisonnement va se bâtir sur H0. Si les circonstances ne me font pas accepter H0, dans ce cas H0 est exclu, on se reporte alors sur l’autre hypothèse.

Pour effectivement choisir entre H0 et H1, il va falloir élaborer puis appliquer une règle de décision. L’objet de cette règle est de préciser dans quelles circonstances nous seront amenés à prendre une décision plutôt qu’une autre. Une fois ces circonstances définies, il suffira de constater les circonstances effectives et de procéder au choix de l’hypothèse retenue.
Ces circonstances sont relatives aux observations susceptibles d’être effectuées sur l’échantillon disponible.

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