Complément sur les quadripôles et les filtres

Complément sur les quadripôles et les filtres :

application de la représentation symbolique d’un quadripôle à une mise en cascade

I. Représentation d’un quadripôle.

1. Définition

Un quadripôle, utilisé pour les filtres ou les amplificateurs, peut se mettre sous la forme la plus générale de la figure 1

Fig. 1 : Schéma global d’un quadripôle (les grandeurs sont complexes)

Trois paramètres caractérisent un quadripôle réel :

- l’impédance d’entrée : . C’est l’impédance « vue » par le circuit qui rentre sur le quadripôle. Dans le cas d’un amplificateur ou d’un filtre audio, c’est ce que voit le lecteur qui est connecté à l’ampli ou au filtre.

- l’impédance de sortie : . C’est l’impédance vue par le circuit qui vient après le quadripôle. Si le quadripôle est un filtre ou un ampli audio, c’est l’impédance que voit le haut-parleur.

- une source de tension, liée à la fonction de transfert à vide du quadripôle : V=Ve  H. Dans le cas d’un ampli audio, c’est le gain de l’ampli ; dans le cas d’un filtre audio, c’est la fonction de transfert du filtre.

2. Détermination des paramètres.

Les équations qui suivent sont liées à la convention choisie sur le schéma.

- L’impédance d’entrée est facile à déterminer : c’est le rapport de la tension d’entrée sur le courant qui rentre dans le circuit :

- En ce qui concerne les paramètres de sortie, il s’agit d’un modèle de Thevenin équivalent : le circuit qui vient après le quadripôle le voit comme un modèle de Thevenin équivalent, c'est-à-dire une source de tension en série avec une résistance. Le montage équivalent est alors beaucoup plus simple, car il se résume à 2 dipôles, quel que soit le nombre de composants réels constituant le quadripôle.

Écrivons la loi des mailles en sortie :

Pour déterminer H (la fonction de transfert), il faut annuler le second terme : il faut donc annuler is, c'est-à-dire être en circuit ouvert (à vide). Cela revient à considérer qu’il n’y a pas de montage après le quadripôle. C’est ce que l’on fait lorsqu’on met en équation un filtre afin de chercher sa fonction de transfert (on considère que l’on ne connecte pas le haut-parleur, dans le cas d’une application audio par exemple)

On a donc :

Pour déterminer Zout, il faut se « débarasser » de HVe : il faut donc annuler l’entrée. D’où la définition de l’impédance de sortie :

C’est donc l’impédance vue par le montage suivant, en ayant annulé la tension d’entrée.

On va voir qu’un quadripôle idéal devrait avoir Zin infini et Zout nul : on retrouve alors le cadre de l’étude des filtres.

3. Exemple

Prenons un filtre passe-bas passif RC 1er ordre.

Le générateur voit comme impédance d’entrée :

Pour déterminer Zout, il faut annuler Ve : R et C se retrouvent alors en parallèle (faites un schéma). L’impédance de sortie est donc équivalente à :

Pour déterminer H, il faut assurer is=0 : on doit alors calculer la fonction de transfert « classique ».

On obtient :

II. Mise en cascade des filtres

1. Etude

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