Methode Q

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Programmes de certificat        DEVOIR 2

        Automne  2016

Méthodes quantitatives en gestion

30-620-92

DIRECTIVES

• Le devoir peut se faire seul ou en équipes, chacune de 4 personnes au maximum.

• Remise :         Avant le 15 décembre 2016.

                Compléter la feuille d’identification fournie en annexe et                         l’utiliser comme première page du devoir.

Question 1 (5 points)

Un boulanger fabrique des petits et des gros croissants. Chaque gros croissant requiert 30 grammes de farine et 60 grammes de beurre. Chaque petit croissant requiert 7,5 grammes de farine et 10 grammes de beurre. Ce lundi, le boulanger dispose de 120 grammes de farine et de 180 grammes de beurre. Le boulanger veut utiliser dans ses croissants toute la farine et tout le beurre dont il dispose. Combien devrait-il fabriquer de gros croissants?

• Réponse 1

Soit P le nombre de petits croissants et G celui de gros croissants. On a le tableau suivant :

Si F et B sont respectivement toute la farine et tout le beurre dont le boulanger dispose, alors on a : F = 7,5 P + 30 G =120 et B = 10 P + 60 G = 180.

        7,5 P + 30 G =120        ❶        

On obtient le système d'équation :

        10 P + 60 G = 180        ❷        

Multiplions ❶ par - 10 et ❷ par 7,5 :          -75 P - 300 G = -1200  ❹

         75 P + 450 G = 1350        ❺        

Additionnons ❹et ❺ : - 300 G + 450 G = -1200 + 1350. Ce qui donne: 150 G = 150; d`où G =1

Il devrait fabriquer 1 gros croissant.

Question 2 (15 points)         

Voici un programme linéaire qui met en cause la minimisation du coût en dollars associé à la production de litres des deux produits liquides P1 et P2.

Min z = 3 x1 + 2 x2 sous les contraintes :

x1 + x2 >= 40     (1)

x1 >= 10            (2) 

x2 >= 10            (3)

x1, x2 >= 0

où xi = nombre de litres de Pi à produire le mois prochain, i = 1, 2.

Résoudre graphiquement. Et répondre à l’aide d’arguments graphiques aux questions suivantes :

1. Si le second membre de la contrainte technologique (1) était porté de 40 à 43, que deviendrait la nouvelle valeur optimale de z ?
2. Si le second membre de la contrainte technologique (2) était porté de 10 à 13, que deviendrait la nouvelle valeur optimale de z ?
3. Si le second membre de la contrainte technologique (3) était porté de 10 à 15, que deviendrait la nouvelle valeur optimale de z ?

• Réponse 2

Résolution graphique (outil utilisé : PHP Simplex/ Méthode Graphique)

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La partie

Question 3 (5 points)

Un manufacturier fabrique les produits P1, P2 et P3. Exiger par contrainte que le nombre total d’unités de P1 et de P2 ne dépasse pas le tiers du total des unités produites.

• Réponse 3

Exiger par contrainte que le nombre total d’unités de P1 et de P2 ne dépasse pas le tiers du total des unités produites revient à écrire : P1 + P2 ≤ 1/3 (P1 + P2 + P3); P1, P2 et P3 sont les produits fabriques par le manufacturier.

Ou encore: 3(P1 + P2) ≤ P1 + P2 + P3  ⇨ 3P1 + 3P2 - P1 - P2 - P3  ≤ 0.

Alors, 2P1 + 2P2 - P3  ≤ 0.

Question 4 (5 points)

Pour le prochain Grand Prix, un petit entrepreneur peindra à la main deux types de garçonnets (T-shirts).  Chaque garçonnet de type A requiert 2 g d’encre spéciale et 20 minutes de main-d’œuvre. Chaque garçonnet de type B requiert 4 g d’encre spéciale et 40 minutes de main-d’œuvre. Le profit unitaire est de 13 $ pour chaque garçonnet de type A et de 25 $ pour chaque garçonnet de type B. L’entrepreneur est assuré de vendre toute sa production, mais il ne dispose que de 200 g d’encre spéciale et que de 30 heures de main-d’œuvre. Modéliser et résoudre graphiquement.

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