Mathématiques Financières

Licence

3ème année

Mathématiques Financières

(20 heures)

Enseignant : Ion LAPTEACRU (MCF, Université Bordeaux 4)

Courriel : ion.lapteacru@u-bordeaux4.fr

Introduction

Les Mathématiques Financières servent à analyser les opérations financières. Ces opérations ont comme objet d’étude la manière dont l’argent présent s’échange aujourd’hui contre l’argent futur, disponible plus tard et le prix auquel se fait cet échange.

L’intérêt représente le prix que l’on paye pour disposer aujourd’hui d’argent que l’on ne possède pas ou le prix que l’on perçoit pour renoncer à la disposition immédiate de l’argent que l’on possède. Son niveau dépend de :

• l’encours de l’opération ;
• sa durée (plus elle est longue, plus le taux d’intérêt est élevé) ;
• le risque de l’opération financière (le taux d’intérêt est d’autant plus élevé que l’opération est risquée)

La formation des taux d’intérêt

1. Éléments influençant le niveau des taux d’intérêt

A. Les mutations du système monétaire et financier

- la déréglementation et le décloisonnement des marchés financiers dans le milieu des années 80 → régulation des marchés par le biais des taux d’intérêt au lieu d’une administration quantitative des financements (en termes de masse et de structure)

⇒ le taux d’intérêt est devenu une variable importante dans la décision des agents économiques

B. Taux de long terme

Les facteurs structurels influençant les taux à long terme : inflation, propension à consommer, le partage de la valeur ajoutée…

Les facteurs de marché : l’offre et la demande de capitaux (de fonds prêtables), car le taux d’intérêt est le prix qui se forme selon le mécanisme de la loi de l’offre et de la demande.

C. Taux de court terme

À CT les taux d’intérêts sont influencés par les politiques économiques (surtout politique monétaire).

2. L’hypothèse d’un taux unique

A. La diversité des taux d’intérêt

⇒ il y a une diversité des taux.

Le taux d’intérêt varie selon le risque de défaut et le risque de taux.

Le risque de défaut fait référence à la probabilité de non remboursement par l’emprunteur. Le risque de taux dépend de l’échéance du titre ou de sa maturité. Plus celle-ci est longue, plus la valeur du titre sera sensible à une variation des conditions du marché.

⟹ les titres de court terme devraient présenter des taux d’intérêt plus faibles que les titres de long terme. De même, les titres ayant un risque de défaut plus élevé devraient servir un intérêt plus fort.

Attention : on suppose que le taux est unique.

Intérêt, capitalisation et actualisation

1. Justification de l’intérêt

L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent effectué par un agent économique (prêteur) à un autre agent économique (emprunteur). Pour l’emprunteur, l’intérêt apparaît comme un coût.

Dans l’économie monétaire, les justifications de cette rémunération sont le temps et le risque.

A. La prise en compte du temps

Les agents économiques ont une préférence pour le présent. En prêtant une somme d’argent, l’agent économique se prive de sa consommation présente. Il est normal qu’il exige un dédommagement de cette privation temporaire.

B. La prise en compte du risque

L’inflation

Au cours du temps, l’inflation entraîne une érosion monétaire. La rémunération obtenue par le prêteur doit au moins compenser cet effet. ⇒ Le taux d’intérêt doit comprendre une prime d’inflation :

⇒ taux nominal in = en prix courants et taux réel ir = en prix constants

(1+in)=(1+ir)×(1+π)

π : taux d’inflation

[pic 1]

Le risque de défaut

Un prêteur rationnel exigera une rémunération que le risque de non-remboursement est élevé. L’intérêt dans ce cas sert comme une prime d’assurance.

2. Capitalisation et actualisation

A. Le principe

Le taux d’intérêt doit rémunérer l’abstention de consommer et les différents risques anticipés. Et tous ces éléments sont liés dans le temps. Ainsi, le taux d’intérêt apparaît comme :

•  un taux d’échange entre des valeurs monétaires actuelles et des valeurs monétaires futures ;
• un taux de transformation de l’argent dans le temps.

La relation entre le temps et le taux d’intérêt fait référence à la notion de calcul actuariel. ⇒ Deux sommes ne sont pas équivalentes si elles ne sont pas disponibles à la même date.

Le calcul actuariel permet de comparer des sommes qui ne sont pas disponibles à la même date en calculant leur équivalent à une date commune.

B. La capitalisation

Le calcul de capitalisation ou d’accumulation permet de déterminer la valeur acquise d’une somme présente.

Il consiste de se déplacer du présent vers le futur. La valeur acquise ou future V1 d’une somme V0 capitalisée au taux i pendant une année est :

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