La gestion budgétaire de la production

Chapitre 2 : La gestion budgétaire de la production

La programmation linéaire

ou

Comment rechercher un optimum en matière de production ?

Pour établir ses prévisions de production, l'entreprise doit tenir compte des possibilités de vente sur le marché mais aussi des contraintes techniques propres à la production. L'entreprise recherche l'optimum, c'est-à-dire la solution qui lui permet d'atteindre l'objectif qu'elle s'est fixée (en principe maximiser le profit). A cette fin, elle dispose d'un outil mathématique: la programmation linéaire.

I) Définition

La programmation linéaire est une technique mathématique qui permet de déterminer toutes les SOLUTIONS POSSIBLES puis de choisir la meilleure d'entre elles, compte tenu de CONTRAINTES à respecter, pour atteindre un OBJECTIF fixé.

II) Exemple

L'entreprise Benjamin fabrique deux produits : « T »  et « U » dont informations concernant la production sont les suivantes :

L'entreprise Benjamin souhaite maximiser sa marge sur coût variable.

A) SOLUTIONS POSSIBLES

Il faut déterminer le nombre de produits T et celui de produits U à fabriquer :

Notons :        X le nombre de T à produire

Y le nombre de U à produire

X et Y sont des variables inconnues ! On doit les déterminer

B) CONTRAINTES à respecter

Les contraintes économiques évidentes

X≥0 et Y≥0

La contrainte commerciale (ou de marché) :

X ≤10 000

La contrainte de production: matière

 6 X + 10 Y ≤ 150 000

La contrainte de production : heure machine

3X + 2 Y ≤ 42 000

C) OBJECTIF fixé

L'entreprise Benjamin s'est fixée comme objectif la maximisation de la marge sur coût variable.

La marge sur coût variable totale est égale à :

Marge/CV Totale= 240 X + 350 Y

Donc l'objectif (ou fonction économique) est : Maximiser la MCV totale

MAX (240 X +  350 Y)

D) Conclusion mathématique du problème posé.

La forme mathématique (dite forme canonique) du programme linéaire se présente ainsi

On cherche X et Y ( les quantités à produire)

Avec :

Fonction économique MAX (240 X + 350 Y)

Sous contraintes :

     X≥0 [pic 1]

    Y≥0

    X≤10 000

    6 X + 10 Y ≤ 150 000

    3X + 2Y ≤ 42 000

III) Résolution du programme linéaire par l’application solver

Le programme linéaire se résout graphiquement ou à l’aide de la fonction solveur d’un tableur.

Il y a trois principales parties à fournir au solveur d’Excel.

• La cellule à maximiser/minimiser
• La plage de variables de décision (X, Y)
• Les contraintes

Etapes résolution Solveur :

1. Les cellules B2 et C2 seront les variables du problème (X et Y).
2. Chacun des coefficients reliés aux variables pour chaque contrainte est inscrit de

1. B5 :C9.

1. La quantité des ressources est indiquée et le sens de la contrainte. Ce dernier élément est facultatif, il aide seulement comme aide-mémoire au problème.
2. Il faut indiquer la MCV /unité pour chaque variable (B11 :C11) (figure 1).

                    [pic 2]

                                                                           Figure 1

1. On introduit les contraintes économiques évidentes : X≥0: Y≥0
2. On introduit la contrainte X≤10 000
3. Puis la contrainte : 6 X + 10 Y ≤ 150 000

Vous devez calculer l’expression de la partie gauche de l’équation avant d’activer le solveur. Exemple dans la cellule D8 la formule = $B$2*B8 + $C$2*C8 est inscrite, équivalente à 6x + 10y (figure 2).

[pic 3]

                                                            Figure 2

1. Copiez cette formule pour les autres contraintes.
2. La formule =B11*B2+C11*C2 est inscrite dans la cellule F12.        C’est cette cellule qu’on maximisera car elle correspond à la fonction objectif 240 X + 350 Y (figure 3).

[pic 4]

                                                       Figure 3

1. Menu: Outils/Solveur.
2. Entrez les paramètres du solveur ( Figure 4)

[pic 5]

                                                        Figure 4

...