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IV/ Les formules fondamentales

A/ Capitalisation à intérêts simples

On utilise des intérêts simples donc on se situe sur le court terme soit au maximum sur un an.

Le terme de capitalisation nous précise que l’on va chercher une valeur future.

Valeur actuelle : V. ACT (en €)

Durée : n (en jours)

Taux : t (en %)

Valeur future : V. FUT (en €)

  [pic 1][pic 2][pic 3]

             V. ACT                           (n jours ; t)

                                                                                                                      V. FUT

V. FUT = V. ACT + Int. [pic 4]

             = V. ACT +   V. ACT * t/100 * n/360

                                          I annuel

V. FUT = V. ACT + V. ACT * t/100 * n/360

Par convention l’année financière compte 360 jours car on considère que chaque mois est composé de 30 jours (simplification datant de la fin du Moyen Age).

Cette convention débouche sur un avantage pour ceux qui prêtent ou qui placent.

Ex :

On place 10000 € le 20/02 à 5% jusqu’au 10/05.

Quelle est la valeur finale ?

10000          (5%)            10/05

[pic 5][pic 6][pic 7]

20/02                                 V. FUT ?

Il faut calculer le nombre jours.

Pour février : 28 - 20 = 8 (nombre de jours dans le mois - date de départ)

Pour mars : 31

Pour avril : 30

Pour mai : 10 (date d’arrivée)

Au total : 79 jours

V. FUT = 10000 + 10000 * 5/100 * 79/360 = 10110 €

B/ Actualisation à intérêt simples

Valeur future : V. FUT (en €)

Durée : n (en jours)

Taux : t (en %)

Valeur actuelle : V. ACT (en €)

V. ACT ?     (n jours ; t)[pic 8][pic 9][pic 10]

                                         V. FUT

V. FUT = V. ACT + V. ACT * t/100 * n/360

             = V. ACT (1 + t/100 * n/360)

V. ACT = V. FUT/ (1+ t/100 * n / 360)

La formule d’actualisation est une réciproque de la formule de capitalisation.

Ex :

On souhaite disposer de 100000 € le 01/07.

Combien faut-il placer à 5% le 20/02 pour obtenir cette somme ?

      V. ACT ?      (5%)        01/07[pic 11][pic 12][pic 13]

       20/02                            100000

28 - 20 + 31 + 30 +31 +30 + 1 = 131

On trouve 131 jours.

V. ACT = 100000/1+5/100*131/360 = 98213 €

En Europe continentale, contrairement aux anglo-saxons, pour les comptes des traites on utilise la formule de l’escompte commerciale.

V. ACT = V. FUT - Int.

V. ACT = V. FUT - V. FUT * t/100 * n/360

Cette formule utilise l’année financière, l’intérêt est donc légèrement supérieur et on paye des intérêts sur des intérêts. L’avantage est vraiment au préteur.

Ex :

Soit une traite de 6000 € échéant le 30/04 au taux de 5% escomptée le 20/02.

Quelle est la valeur d’escompte ?

20/02           (5%)               30/04

[pic 14][pic 15][pic 16]

 V. ACT ?                         6000

Aux Etats-Unis : V. ACT = 6000/ (1 + 5/100 + 69/360) = 4832,21 €

En France : V. ACT = 6000 - 6000 * 5/100 * 69/360 = 5942,5 €

C/ Capitalisation à intérêts composés

1° Le cas général

On est maintenant dans le long terme soit plus d’un an.

Valeur actuelle : V. ACT (en €)

Durée : n (en période de base)

« Taux » : i (= t/100)

Valeur future : V. FUT (en €)

                                                           (n périodes ; i)

V. ACT                     V.ACT (1 + i) 1        V.ACT (1 + i) 2                                  V.ACT (1 + i) n                       

[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

I1 = V. ACT * t/100              I2 = V. ACT (1 + i) * t/100                                            V. FUT?

I1 = V. ACT * I     +              I2 = V. ACT (1 + i) * i    +                   V. FUT = V. ACT (1 + i) n  [pic 26][pic 27]

V. ACT + I1                          V. ACT (1 + i) + I2 

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