Triangle de sierpinski

Analyse didactique d’une tâche intéressante

La tâche qui sera analysée dans ce document a été tirée du manuel sesamaths 5e 2010 page 40.

Voici l’énoncé de l’activité :

[pic 1]

Description du contexte d’enseignement

Nom de l’établissement : Collège George Brassens à Saint Mard

Académie : Académie de Créteil. Département : Seine et Marne.

L’activité a été proposée pour une classe de cinquième.

L’objectif de cette activité est de travailler principalement la notion de nombres et calculs au cycle 4. De façon spécifique, elle permet d’approfondir le calcul avec des fractions, plus précisément l’addition et la soustraction de fractions, la multiplication d’une fraction par un nombre décimal et la multiplication de deux fractions. Par ailleurs, avec certaines modifications, on peut aussi travailler les notions d’organisation et gestion de données – la résolution de problèmes de proportionnalité avec le calcul de pourcentages – et celle d’espace et géométrie – les calculs d’aire et périmètre d’un triangle –.

Pour aborder cette activité, j’ai programmé plusieurs séances que l’on peut observer dans le tableau récapitulatif ci-dessous. De façon générale, nous avons déjà parcouru le chapitre sur la proportionnalité, et nous avons vu principalement deux applications : les pourcentages et les échelles. Pour atteindre les objectifs de cette activité, il est important d’aborder également le chapitre sur les calculs avec des fractions (addition et soustraction de fractions de même dénominateur et de deux fractions lorsque le dénominateur de l’une est multiple du dénominateur de l’autre, prendre une fraction d’une quantité et la multiplication de deux fractions)

Analyse didactique de la tâche

Résolution de l’exercice

Première partie : Construction du triangle de Sierpinski sur Geogebra

La première partie de la tâche consiste à construire les triangles de Sierpinski pour les étapes 3 et 4. Ces constructions peuvent se réaliser à la règle et au compas, pourtant, vu que nous n’avons pas encore commencé le chapitre sur les triangles, il m’a semblé plus judicieux de se concentrer sur l’objectif autour des opérations avec des fractions que sur la construction géométrique. En plus, étant donné les éventuelles difficultés que les élèves peuvent rencontrer avec les constructions à la règle et au compas (constructions imprécises et parfois très chronophages), j’ai décidé d’amener les élèves en salle informatique pour qu’ils utilisent le logiciel Geogebra. Un document guidé a été distribué pour qu’ils réalisent cette construction.

1. Clique sur l’icône « Polygone régulier »[pic 2]

Place deux points suffisamment espacés sur le quadrillage et ensuite saisi 3 pour indiquer le nombre de points du polygone. Tu obtiendras ainsi un triangle équilatéral.[pic 3]

1. Clique sur « Milieu ou centre »[pic 4]

Sélectionne ensuite successivement les points A et B pour faire apparaître le milieu du segment [AB], puis les points B et C pour faire apparaître le milieu du segment [BC] et enfin les points C et A pour placer le milieu du segment [CA]. Les points milieux des segments [AB], [BC] et [CA] s’appelleront D, E et F respectivement.

1. Clique sur « Polygone » puis relie les points D, E et F de l’étape précédente pour former un triangle équilatéral, DEF, à l’intérieur du triangle ABC.

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1. Enlève les étiquettes des côtés du triangle DEF. Pour cela, clic droit sur l’un des côtés et ensuite clique sur « Afficher l’étiquette ». Répète le même processus pour les trois côtés.[pic 6]

Tu obtiendras une figure comme celle-ci :[pic 7]

1. Dans le menu de gauche, sélectionne le triangle DEF et clique sur les trois petits points du triangle pour accéder aux « Propriétés ».

[pic 8][pic 9]

Un menu relatif au triangle DEF apparaîtra à droite. Clique sur « Couleur » et sélectionne ensuite la couleur blanc et met l’opacité du triangle à 100.

[pic 10][pic 11]

Tu verras apparaître un triangle blanc au milieu du triangle ABC, comme ceci :

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1. Sélectionne les trois côtés du triangle DEF en appuyant sur ton clavier la touche Ctrl et en cliquant en même temps les trois objets un après l’autre. Tu verras ainsi les trois segments sélectionnés. Clique ensuite dans les propriétés la couleur marron afin de voir apparaître les côtés du triangle DEF. Nous avons donc construit l’étape 2.

 [pic 13][pic 14]

1. Clique ensuite en haut à droite les trois petites barres horizontales pour accéder au menu et clique ensuite sur « Créer un nouvel outil »

[pic 15]

1. Une nouvelle fenêtre apparaîtra où tu pourras sélectionner les trois segments du triangle DEF et ses points milieux.

[pic 16][pic 17]

1. Clique ensuite sur « Objets Initiaux » et choisi les points A, B et C qui correspondent aux sommets du triangle ABC du départ. Clique après sur « Suivant » pour passer à l’onglet « Nom et Icône ». Saisi le nom « Sierpinski » et clique sur « Fin ».[pic 18]

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1. Tu verras apparaître un nouvel outil dans la barre d’outils.

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Pour construire les étapes 3 et 4 du triangle de Sierpinski, clique sur les sommets des triangles hachurés ADF, DBE et FEC. Tu verras ainsi apparaître l’étape 3

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