Les suites arithmético-géométriques

[pic 4]

[pic 5]

Corrigé :

[pic 6]

Important : Ici on dit que la suite  converge car elle tend vers une limite finie, en l’occurrence 50, et on écrit [pic 8][pic 7]

Dans le cas de notre modélisation de la population de hérissions, on modélise la situation par une suite arithmético-géométrique, c’est-à-dire du type [pic 9], avec [pic 10] et [pic 11].

Attention, une suite arithmético-géométrique n’est ni arithmétique, ni géométrique !

Preuve de la conjecture graphique : étude de la suite arithmético-géométrique

Méthode générale :

Si [pic 12] avec [pic 13].

1. On cherche l’unique réel [pic 14] (appelé « point fixe ») solution de l’équation [pic 15].
2. On pose [pic 16]. Souvent, dans les exercices, on nous donnera directement la définition de [pic 17] ce qui nous dispensera de l’étape 1).
3. On démontre que [pic 18] est une suite géométrique. En effet, par différence membre à membre : [pic 19] ou encore [pic 20].
4. On exprime [pic 21], puis [pic 22], en fonction de [pic 23].

Application à la situation :

On résout l’équation [pic 24] : l’unique solution est [pic 25].

On définit la suite [pic 26] par        [pic 27]                        (dans les exercices, [pic 28] vous sera généralement donnée) 

On prouve que [pic 29] est géométrique :

[pic 30]        ici, on « force » la factorisation par [pic 31]

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