Exercices sur les fonctions circulaires

1. Ennoncé : Exercices sur les fonctions circulaires. Exercice 1

Soit 𝑥 un nombre réel de l’intervalle

[𝜋

2[pic 1]

; 𝜋]

tel que sin 𝑥 = 0,3 .

Déterminer cos 𝑥, cos(−𝑥), sin(𝜋 − 𝑥),

cos (𝜋

2[pic 2]

− 𝑥)

et sin(5𝜋 + 𝑥).

Puis,  à  l’aide  de  la  calculatrice,  donner  une  valeur  approchée  d𝑥e radian.

Exercice 2

[pic 3]

1. Résoudre dans ℝ l’équation sin 𝑡 = − √2.

2[pic 4]

arrondie au dixième de

1. Résoudre dans l’intervalle

[− 𝜋

2[pic 5]

; 𝜋] 2

l’équation : cos 𝑡 = sin ( 5𝜋 ).

6[pic 6]

1. Résoudre dans l’intervalle ] − 𝜋; 𝜋] l’équation :

Exercice 3

sin 𝑡 = cos (

𝜋). 3[pic 7]

Dans un circuit électrique, la tension𝑢 (exprimée en volts) aux bornes d’un condensateur varie en fonction du temps (exprimé en millisecondes) selon une relation de la forme :

𝑢(𝑡) = 𝑎 cos(𝑏𝑡) où 𝑎 et 𝑏 sont des réels.

La courbe représentative de 𝑢 observée sur l’écran d’un oscilloscope est donnée ci-dessous.

1. Lire graphiquement la valeur de la période de la fonction 𝑢. En déduire la valeur de 𝑏.
2. Lire graphiquement la valeur de 𝑢(0). En déduire la valeur de 𝑎.
3. Déduire des questions précédentes, l’expression de 𝑢(𝑡).[pic 8]

Exercice 1[pic 9]

cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 ⟺ cos 2 𝑥 + 0,32 = 1 ⟺ cos 2 𝑥 = 1 − 0,3 2 ⟺ cos2 𝑥 = 0,91 ⟺ cos 𝑥 = − √0,91

ou cos 𝑥 = √0.91 . Or 𝑥 ∈ [ 𝜋 ; 𝜋] et sur [𝜋 ; 𝜋], cos 𝑥 ≤ 0 donc cos 𝑥 = −√0,91[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

2        2

On en déduit : cos(−𝑥) = cos 𝑥 = − √0.91 ; sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥 = 0.3 ;[pic 14]

sin(5𝜋 + 𝑥) = sin(𝑥 + 𝜋 + 4𝜋) = sin(𝑥 + 𝜋) = − sin 𝑥 = −0,3

cos (𝜋

2[pic 15]

− 𝑥) = sin 𝑥 = 0,3 et

Comme

𝑥 ∈ [ 𝜋

2[pic 16]

; 𝜋]

on en déduit qu’une valeur de 𝑥 arrondie au dixième de radian sera :

𝜋 − 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(0,3) ≈ 2,8.

Exercice 2

[pic 17]

1. L’équation sin 𝑡 = − √2 est équivalente à

2

sin 𝑡 = sin (−

𝜋) 4

. Elle admet dans ℝ deux familles[pic 18]

de solutions : 𝑡 = − 𝜋 + 𝑘 × 2𝜋 et[pic 19]

4

𝑡 = 𝜋 − (−

𝜋) + 𝑘 × 2𝜋

4[pic 20]

où 𝑘 ∈ ℤ

Soit 𝑡 = − 𝜋 + 𝑘 × 2𝜋 et 𝑡 = 5𝜋 + 𝑘 × 2𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ .[pic 21][pic 22]

4        4

1. cos 𝑡 = sin ( 5𝜋 ) équivaut à cos 𝑡 = 1 équivaut à cos 𝑡 = cos ( 𝜋).[pic 23][pic 24][pic 25]

6        2        3

Elle admet sur ℝ deux familles de solutions : 𝑡 = 𝜋 + 𝑘 × 2𝜋 𝑒𝑡 𝑡 = − 𝜋 + 𝑘 × 2𝜋 où 𝑘 ∈ ℤ.[pic 26][pic 27]

3        3

Or, − 𝜋 et 𝜋 sont les deux seules valeurs appartenant à [− 𝜋 ; 𝜋].[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

...