Espaces vectoriels

Chapitre 1 : généralités sur les espaces vectoriels :

Dans tout ce chapitre,  désignera un corps commutatif et  un ensemble muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de composition interne notée  définie comme suit :[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Dans la suite, on écrira tout simplement 𝜆 au lieu 𝜆.[pic 6][pic 7]

L’élément neutre pour la loi interne + sera noté 0 et l’élément neutre de la multiplication dans  sera noté 1. De même, l’élément symétrique d’un élément  qui appartient à , sera noté -[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

1) définitions et exemples :

Définition : on dit que  est un - espace  vectoriel si :[pic 12][pic 13]

 + est un groupe abélien ;[pic 14][pic 15][pic 16]

la loi externe vérifie :[pic 17]

  appartient à ,  appartient à ,  +  =  + ;[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

 appartient à ,  appartient à ,  +  =  + ;[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

  appartient à ,  appartient à ,  = ;[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

 1 .  = [pic 42][pic 43][pic 44]

Les éléments de  sont appelés vecteurs et les éléments de  sont appelés des scalaires.[pic 45][pic 46]

Remarque : dans toute la suite de ce chapitre,  désigne l’un des deux corps  ou [pic 47][pic 48][pic 49]

Proposition 1 : soit  est un -espace vectoriel, alors pour tous  appartient à  et pour tous 𝜆, appartient à  on a :[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

  = ;                                                                                 -1 = -;[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

𝜆 = ;                                                                                 𝜆 -  = 𝜆 - ; [pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

𝜆 =   =  ou  = ;                                                 𝜆 -  = 𝜆 – 𝜆[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

Démonstration :

  =  +  =  + , d’où  =  (car l’élément neutre est unique dans ;[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]

 𝜆 = 𝜆 + = 𝜆 + 𝜆, d’où 𝜆 =  (car l’élément neutre est unique dans ;[pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100]

3. soient  appartient à  et 𝜆 appartient à  tels que 𝜆 = , alors :[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105]

- si 𝜆 = , alors par 1  =  =  la condition « 𝜆 =  ou  =  » est vérifiée ;[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

- si 𝜆  et si  est l’inverse de 𝜆 dans le corps , on aura :  =  =  =  [pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119]

Réciproquement, si 𝜆 =  ou  = , alors par  et , 𝜆 = ;[pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126]

 - = - car  + -1 =  -  =  =  =  + - d’où - = -;[pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132][pic 133][pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142]

 on a :  + - =  + - =  =  d’après  donc - = - = -;[pic 143][pic 144][pic 145][pic 146][pic 147][pic 148][pic 149][pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 156]

6. on a : 𝜆 =  -  +  = 𝜆 -  +  d’où  -  = 𝜆 - ;[pic 157][pic 158][pic 159][pic 160][pic 161][pic 162][pic 163][pic 164][pic 165][pic 166][pic 167]

 𝜆 = 𝜆 -  +  = 𝜆( -  + 𝜆 d’où 𝜆( -  = 𝜆 – 𝜆[pic 168][pic 169][pic 170][pic 171][pic 172][pic 173][pic 174][pic 175][pic 176][pic 177][pic 178][pic 179]

Remarque : dans la suite -𝜆 sera noté -𝜆 et  + - sera noté  –  [pic 180][pic 181][pic 182][pic 183][pic 184][pic 185][pic 186][pic 187]

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