Epreuves de Bernoulli

Succession d’épreuves – Bernoulli

► Cas général[pic 1][pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Dans ce cas les épreuves ne sont pas indépendantes car il n’y a pas de remise.

► Epreuve de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli une expérience possédant exactement deux issues[pic 5]

[pic 6]

► Schéma de Bernoulli

On appelle schéma de Bernoulli, la répétition de  épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.[pic 8][pic 7]

[pic 9][pic 10]

[pic 11]

● Ce schéma de Bernoulli a pour paramètre   (nombre d’épreuves) et  (probabilité d’un succès d’une tentative).[pic 12][pic 13]

On suppose ici que tirer la boule rouge est un succès à chaque épreuve.

► Loi binomiale

● On considère un schéma de Bernoulli de paramètre  (nombre de répétitions), et (probabilité de succès d’une tentative) [pic 14][pic 15]

● La variable aléatoire qui comptabilise le nombre de succès après  épreuves de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètres  et .[pic 20][pic 21][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

● La loi binomiale de paramètre  et est notée :                      ou   [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

► Propriété

[pic 26]

Dans l’exemple précédent  peut prendre les valeurs [pic 27][pic 28]

Puisqu’il peut y avoir 0, 1, 2,3 succès (boules rouges tirées)

[pic 29]

● Cette probabilité correspond au fait d’obtenir 1 boule rouge (sur les 3 tirages).

Le coefficient   (1 parmi 3) qui vaut 3 permet distinguer les différentes possibilités (chemins) sur l’arbre pondéré : (R ; B ; B)   ou   (B ; R ; B)    ou  (B ; B ; R)[pic 30]

●          ou à la calculatrice   math / PROB / 3 : Combinaison[pic 31][pic 32]

● Pour calculer directement  à la calculatrice  distrib / A :binomFdp([pic 33][pic 34]

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