Cours sur les dérivées

Cours sur les dérivées

Introduction : Pourquoi étudier les dérivées ?

Les dérivées sont une des notions fondamentales en mathématiques et en sciences. Elles permettent de mesurer la variation d'une grandeur par rapport à une autre. En termes simples, elles permettent de répondre à des questions comme :

À quelle vitesse une voiture roule-t-elle à un instant précis ?

Quel est le taux de croissance d'une population ?

Quelle est la pente d'une courbe en un point donné ?

Les dérivées ont de nombreuses applications dans les domaines tels que :

La physique (vitesse, accélération),

L'économie (analyse des coûts, maximisation des profits),

La biologie (croissance d'une population),

Et même l'informatique et l'optimisation.

1. Définition de la dérivée

1.1 Taux de variation

Le taux de variation mesure comment une fonction f(x)f(x) varie lorsque xx change. Pour une fonction f(x)f(x), le taux de variation entre deux points xx et x+hx+h est donné par la formule :

Taux de variation=f(x+h)−f(x)h.

Taux de variation=hf(x+h)−f(x)​.

1.2 La notion de limite

Quand hh devient très petit (tend vers 0), le taux de variation devient une mesure précise de la variation de f(x)f(x) à xx. C'est cette idée qui mène à la définition de la dérivée.

1.3 Définition mathématique de la dérivée

La dérivée de f(x)f(x) en un point xx est définie par :

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h,

f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​,

à condition que cette limite existe.

2. Interprétation graphique

La dérivée de f(x)f(x) en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe représentant ff en ce point.

Si f′(x)>0f′(x)>0, la fonction est croissante au voisinage de xx.

Si f′(x)<0f′(x)<0, la fonction est décroissante au voisinage de xx.

Si f′(x)=0f′(x)=0, xx peut être un point d'extremum (maximum ou minimum local).

3. Calcul des dérivées

3.1 Dérivées des fonctions de base

Constante :

f(x)=c  ⟹  f′(x)=0.

f(x)=c⟹f′(x)=0.

Identité :

f(x)=x  ⟹  f′(x)=1.

f(x)=x⟹f′(x)=1.

Puissance (formule de base) :

f(x)=xn  ⟹  f′(x)=n⋅xn−1.

f(x)=xn⟹f′(x)=n⋅xn−1.

Exponentielle :

f(x)=ex  ⟹  f′(x)=ex.

f(x)=ex⟹f′(x)=ex.

Logarithme naturel :

f(x)=ln⁡(x)  ⟹  f′(x)=1x.

f(x)=ln(x)⟹f′(x)=x1​.

Trigonométrie :

f(x)=sin⁡(x)  ⟹  f′(x)=cos⁡(x).f(x)=sin(x)⟹f′(x)=cos(x).

f(x)=cos⁡(x)  ⟹  f′(x)=−sin⁡(x).f(x)=cos(x)⟹f′(x)=−sin(x).

f(x)=tan⁡(x)  ⟹  f′(x)=1cos⁡2(x).f(x)=tan(x)⟹f′(x)=cos2(x)1​.

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