Arithmétique et décomposition en facteurs premiers

Cours de maths en 3ème

Arithmétique et décomposition en facteurs premiers[pic 1]

0.Introduction :

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui s'intéresse aux ensembles de nombres et aux différentes propriétés qui les relient.

Le sens étymologique du mot arithmétique est << arithmos>> qui signifie <<nombre>>. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons essentiellement aux nombres entiers positifs.

1. Définitions et vocabulaire :

1. La division euclidienne :

Propriété :[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

Exemple :[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

Effectuer la division euclidienne de 84 par 15.

avec 0<9<15[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

1. Notion de diviseur et de multiple :

Définition :

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[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Exemples :[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

donc        . Ainsi, 75 est un multiple de 25 et de 3.[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

donc 77 n'est ni un multiple de 25, ni un multiple de 3.[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

Ou encore, les entiers 3 et 25 ne sont pas des diviseurs de 77. Remarques :

Tout nombre entier non nul possède une infinité de multiples et un nombre fini de diviseurs;[pic 66]

Tout nombre entier non nul possède au moins deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.[pic 67]

Exemple :

Déterminer les diviseurs de 36.

[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123]

Les diviseurs de 36 sont [pic 124].

1. Les critères de divisibilité :

Propriété :

[pic 125][pic 126][pic 127][pic 128][pic 129]

Exemples :[pic 130]

1 348 est divisible par 2 car il se termine par 8;[pic 131]

1623 est divisible par 3 car        et 12 est divisible par 3 car        ;[pic 132][pic 133][pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142][pic 143][pic 144][pic 145][pic 146]

78 924 est divisible par 4 car 24 est divisible par 4        ;[pic 147][pic 148][pic 149][pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154][pic 155]

154 395 est divisible par 5 car il se termine par 5;[pic 156]

756 est divisible par 9 car        et 18 est divisible par 9 car        .[pic 157][pic 158][pic 159][pic 160][pic 161][pic 162][pic 163][pic 164][pic 165][pic 166][pic 167][pic 168][pic 169][pic 170][pic 171]

Remarque :

Avec le logiciel de programmation scratch, la brique [pic 172]          nous fournit le

reste de la division euclidienne. Exemple :

[pic 173]

[pic 174][pic 175][pic 176][pic 177][pic 178][pic 179][pic 180][pic 181][pic 182][pic 183]Le reste de la division euclidienne de 22 par 6 est 4 puisque        .[pic 184][pic 185][pic 186][pic 187][pic 188][pic 189][pic 190][pic 191][pic 192][pic 193][pic 194][pic 195]

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