Le repérage sur un axe

Le repérage sur un axe

Tout point est repéré sur un axe par son abscisse. Réciproquement, en connaissant l'abscisse d'un point, on connaît nécessairement son emplacement.

Repérage sur un axe

Repérage sur un axe

Sur cet axe, le point est positionné par rapport à son abscisse.

A a pour abscisse –3 ; il est noté A (–3).

B a, quant à lui, pour abscisse 2 ; il est noté B (2).

O est l'origine du repère et se note O (0). L'origine aura toujours pour abscisse 0, sauf si une autre abscisse pour l'origine est expressément demandée.

Un axe est constitué par :

une droite ;

un sens (sens de croissance des valeurs de gauche vers la droite) ;

une origine, indiquée par la lettre O, située au point zéro ;

un repère, qui indique une mesure de l'unité ; par exemple 1 cm correspond à l'unité, 5 cm correspondent à 5 unités. Le repère est souvent indiqué sur l'axe par un petit trait vertical.

Le repérage sur un plan

Dans un plan, il y a deux axes :

l'un, noté x, désigne l'axe des abscisses ;

l'autre, noté y, l'axe des ordonnées.

Le plan a pour origine le point O (0 ; 0). Dans un repère, un point est repéré par deux nombres appelés coordonnées. On note les coordonnées du point A de la manière suivante : A (xA ; yA), avec xA l'abscisse du point A et yA l'ordonnée du point A. Si l'on connaît l'abscisse et l'ordonnée d'un point, on connaît nécessairement son emplacement sur un plan.

Repérage sur un plan

Repérage sur un plan

Pour trouver les coordonnées d'un point, il faut projeter ce point sur les deux axes, c'est-à-dire que l'on trace des perpendiculaires aux axes, passant par le point.

Graphiquement, on lit A (3 ; 3) et B (–2 ; –1). L'abscisse et l'ordonnée peuvent être séparées par une virgule et écrites B (–2, –1), mais cela peut prêter à confusion si les nombres sont décimaux. Par exemple, un point H (2,5, 6) a-t-il 2,5 pour abscisse ou 5,6 pour ordonnée ? Il est préférable d'utiliser le point-virgule et d'écrire H (2,5 ; 6) pour éviter toute confusion.

L'ensemble des deux axes constitue un repère que l'on nomme (O,i avec flèche vers la droite au-dessus virgulej avec flèche vers la droite au-dessus).

Dans le cas où les axes sont perpendiculaires, on parle de repère «

orthogonal

».S i espace égal à i avec flèche vers la droite au-dessus égal à j avec flèche vers la droite au-dessus égal à 1 , le repère est dit «

orthonormé »

.

Le milieu d'un segment

Sur un axe

Si I est le milieu du segment [AB], alors son abscisse est donnée par la formule :x indice I espace égal à espace numérateur de la fraction parenthèse gauche x indice A espace plus espace x indice B parenthèse droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction

Par exemple, si nous avons A (–3) et B (6), alors :x indice I espace égal à espace numérateur de la fraction parenthèse gauche moins 3 plus 6 parenthèse droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à 3 sur 2 égal à 1 virgule 5

Dans un repère

Si I est le milieu du segment [AB], alors son abscisse et son ordonnée sont :

x indice I espace égal à espace numérateur de la fraction parenthèse gauche x indice A espace plus espace x indice B parenthèse droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction espace e t espace y indice I espace égal à espace numérateur de la fraction parenthèse gauche y indice A espace plus espace y indice B parenthèse droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction

Dans le cas, par exemple, où A (3 ; 2) et B (5 ; –3), alors :x indice I espace égal à espace numérateur de la fraction parenthèse gauche 3 plus 5 parenthèse droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à 8 sur 2 égal à 4ety indice I espace égal à espace numérateur de la fraction parenthèse gauche 2 plus parenthèse gauche moins 3 parenthèse droite parenthèse droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à moins 1 demi égal à moins 0 virgule 5

Les coordonnées de I sont alors :simple I espace parenthèse gauche 4 espace point-virgule moins 0 virgule 5 parenthèse droite.

La distance entre deux points

La distance entre les points A (xA ; yA) et B (xB ; yB), dans un repère orthonormé, est donnée par la formule suivante :

A B espace égal à espace début de racine carrée de parenthèse gauche x indice B espace – espace x indice A parenthèse droite ² espace plus espace parenthèse gauche y indice B espace – espace y indice A parenthèse droite ² fin de racine

Cette relation se démontre avec le théorème de Pythagore.

Exemple :

Soit les points A (12 ; 5) et C (1 ; 0). Déterminer la distance AC.

La formule suivante est appliquée :

A C espace égal à espace début de racine carrée de parenthèse gauche x indice C espace – espace x indice A parenthèse droite ² espace plus espace parenthèse gauche y indice C espace – espace y indice A parenthèse droite ² fin de racine égal à espace début de racine carrée de parenthèse gauche 1 moins 12 parenthèse droite au carré plus parenthèse gauche 0 moins 5 parenthèse droite au carré fin de racine égal à début de racine carrée de 121 plus 25 fin de racine égal à racine carrée de 146

Alors AC = racine carrée de 146

Si l'unité du repère est le centimètre,

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