Cours 4-Variables aléatoires

• ESTIMATION, INTERVALLES DE CONFIANCE

• Intervalle de confiance

[pic 1]

IC = [𝒑 − 𝒖𝜶 × 𝝈 ; 𝒑 + 𝒖𝜶 × 𝝈]     => p=f= xi /n

𝜎 = √ 𝑝 (1 − 𝑝) / 𝑛 (soit p = proportion, fréquence, moyenne, estimation ponctuelle)

[pic 2]

Marge d’erreur = 1,96* 𝜎. Son amplitude = 2* 1,96* 𝜎 (soit 𝒖𝜶 = 1,645 /1,96/ 2,326/ 2,58)[pic 3]

Interprétation : il y a une probabilité de 95 % (« 95% de chances » ?) qu’un échantillon de 50 bulletins donne une proportion de votes pour Mme X. situé entre 69% et 91%.

• IC avec les calculatrices :

T.I : STATS / TESTS / A : 1-propZint1

L’intervalle le plus « certain » (99%) est le moins précis (amplitude = 13,8%).

L’intervalle le moins « certain » (90%) est le plus précis (amplitude = 7,6 %).

35% n’est pas dans l’intervalle IC95% = [25,5 % ; 34,5 %], il faut arrêter la production et régler les machines.

• ESTIMATION D’UNE MOYENNE PAR INTERVALLE DE CONFIANCE

Sur TI : STAT / TESTS / 7 : ZInterval/ Stats (pour l’écart type on prend le plus grand (Sx et σ))

Moyenne = x= Stat/ Edite/ Calc / 1 : Stas 1-var[pic 4][pic 5]

𝑰𝑪 = [𝒙̅ − 𝒖𝜶 × 𝝈̂/√𝒏 ; 𝒙̅ + 𝒖𝜶 × 𝝈̂/√𝒏]    𝝈̂ est l’écart type utilisé dans tout ce cours (Sx sur les TI)

• Tests d’hypothèse du khi-deux d’ajustement à une loi

 Dans le cas présent, cet indicateur est le khi-deux calculé 2 χ2cal = (Oi-Ti) ^2 / Ti[pic 6]

[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

* Etape 1 : H0 : La différence entre les effectifs observés et théoriques n’est pas significative.[pic 11]

                H1 : Le nombre de créations d’entreprises « ne « varie pas » selon les saisons

 Exple2 =>H1 : L’échantillon est représentatif de la population nationale selon le critère des âges

* Etape 2 : On obtient χ2 cal ≈ 1

* Etape 3 : On choisit 𝛼 = 5% (voir l’énoncé)

* Etape 4 : Avec 𝛼 = 5% et 𝑑𝑑𝑙 = 6− 1 = 5, on lit la valeur limite 𝑋0 ≈ 7,8 sur la table

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