La Terminale - Limites

Terminale - Limites

Cours de terminale

2 - Limites de fonctions

Nous avons vu précédemment les limites de suites. Cette notion s'applique aussi aux fonctions.

Une limite de fonction permet de décrire le comportement d'une fonction au voisinage d'un x pour lequel on ne peut pas calculer d'image, par exemple au voisinage de +∞ pour f(x)=x² ou au voisinage 0 pour f(x)=1/x.

Limite de fonction

Limite finie en l'infini

On dit qu'une fonction admet une limite finie l en +∞ si pour tout nombre ε fixé à l'avance aussi petit que l'on veut, il existe un x à partir duquel la distance entre f(x) et l (que l'on peut noter |f(x)-l|) est inférieure à ε.

Nous avons la même chose en -∞ : si ∀ε>0 ∃x0 tel que ∀x<x0 |f(x)-l|<ε.

Exemples

Pour le calcul on utilise les mêmes règles que pour les limites de suites.

Limite infinie en l'infini

Une dit qu'une fonction a pour limite +∞ en +∞ si pour tout nombre M fixé à l'avance aussi grand que l'on veut, il existe un x à partir duquel toutes les valeurs de f(x) sont supérieures à M.

Nous avons des définitions similaires (limite +∞ ou -∞) pour la limite en -∞.

Exemples

Limite en un point

Il est aussi possible de parler de limite en un point.

Si la fonction est continue (ce qui signifie que l'on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon) on a toujours .

Sinon, on doit introduire la limite à gauche et la limite à droite de ce point.

On note + ou - en exposant à côté de cette valeur.

As-tu compris?

A ton avis, combien vaut ?

-∞ 0 1 +∞

Calcul de limite

Pour calculer la limite d'une fonction on repère les fonctions usuelles (x², 1/x, √x) qui la compose et on utilise leurs limites connues et les opérations sur les limites.

Les règles (somme, différence, produit ou quotient de limites) sont les mêmes que pour le calcul des limites de suites.

Exemples

: c'est la limite d'une somme de fonctions qui tendent vers +∞.

: il y a une forme indéterminée, il faut factoriser par x.

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